相似三角形的中考复习题

吕永淼

相似三角形即形状相同、大小不同的两个三角形，它可用如下方法识别。

若两个三角形中有：

（1）两个角对应相等；

（2）两对应边成比例且夹角相等；

（3）三边对应成比例，那么这两个三角形就相似。

它具有如下性质：

（1）对应边成比例；

（2）对应角相等；

（3）对应线段（高、中线、角平分线）成比例；

（4）周长之比等于相似比；

（5）面积之比等于相似比平方。

巧用以上识别和性质，乃可妙解中考题，笔者选析2004年部分省市中考题，供读者参考。

例1. 已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC，那么AD：AC的值是（    ）

A.        B.        C. 1            D. 

思考：据题意，易知△ABC∽△BDC

设AD为x，则

故

即

于是

（即黄金分割比）

故选B。

例2. 如图2，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若，则的值是（    ）

A.        B.        C.        D. 2

思考：据题意易知△ADE∽△ECB

由面积比性质

利用补形法，延长AD、BC相交于F，则有四边形DFCE为平行四边形

∵DE∥FB

故选C。

例3. 如图3，矩形ABCD中，，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（    ）

A.        B.        C.        D. 

思考：据题意，只要满足△ABP∽△PCD即可。

设，则

即，要使方程有实数根，必须△≥0

即

故选D。

启迪：以上三例，关键是根据图形特征，构造方程解决。

例4. 如图4，△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明。

思考：据题意，图中与△DBE相似的有△GAD、△ECH、△GFH，仅对△DBE与△ECH证之

∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°

易知∠BED＋∠HEC＝120°

∴∠BDE＝∠HEC

故△DBE∽△ECH

例5. 在△ABC中，AD、CE是两条高，连结DE。若，如图5，在不添加辅助线和字母情况下，写出三个正确结论（要求分别为边的关系、角的关系、三角形相似关系等），并对其中一个结论给予证明。

思考：据题意，可添结论颇多，如：

AB＝AC，∠BED＝∠BCA

△CBE∽△ABD，AD是△ABC的对称轴

DC＝DB，△ABD≌△ACD

等等，现对BA·BE＝BC·BD予以证明：

易证∠DEB＝∠ACB，∠B公用

∴△BDE∽△BAC，可得（略）

启迪：例4、例5是结论开放题，需认真审题、善于联想、富于想象、合情猜测、严格推理，有助于思维品质的优化，是中考的热点。

例6. 如图6，△ABC中，点D在AC上，CD＝2AD，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连结AE。

（1）写出图中所有相等的线段，并证明；

（2）图中是否存在相似三角形？若有，请写出一对，若没有，请说明理由；

（3）求出△BEC与△BEA的面积之比。

思考：（1）认真观察图形，相等线段有：

DE＝DA，EC＝EA＝EB

证明：∵∠DEC＝90°，∠BDC＝60°

∴∠DCE＝30°

故

从而∠DEA＝∠DAE＝30°

∴∠EAB＝15°

故∠EBA＝15°

∴EB＝EA

易知EA＝EC，故EC＝EB＝EA

（2）图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB

（3）过A作AF⊥BD交其延长线于F

则∠AFD＝∠CED＝90°

又∠ADF＝∠CDE，故△CDE∽△AFD

启迪：本题（1）是结论开放；（2）是存在性开放。关键认真审题，准备画图，抓住图形特征分析，探索数学对象的存在与否，颇有创意，是中考的热门考点。

例7. 如图7，△ABC、△DCE、△FEG是全等的三个等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且，BC＝1，连结BF交AC、DC、DE分别为P、Q、R。

（1）试证△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并给予解答。

思考：（1）据题意知

，∠G公用

∴△BFG∽△FEG

∴FE＝FG

∵BF＝BG＝3

（2）可提出的问题很多，由易到难可分如下三个层次：

（A）层次。如：求证∠PCB＝∠REC，

或PC∥RE，……；

（B）层次。如：求证∠BPC＝∠BFG，

或BP＝PR，或△ABP∽△CQP，……，

或求的值；

（C）层次。如：求证△ABP≌△ERF

或PQ＝QR，或△BPC为等腰三角形

或△PCQ≌△RDQ，或求的值

或求PC的长，……。仅以求PC长为例简要证明（其余略）。

易知PC∥FG，故

即

启迪：本题（2）是极富创意、构思精巧的结论开放题，虽有点P的约束，开放度还是非常大，所提问题根据学生实际评分，较为灵活，有一定压分度，具有对教学和中考命题的导向意义。