2010年福建省宁德市中考数学试卷(word版含解析答案)

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（2010•郴州）的相反数是（　　）

    A．3    B．﹣3    C．    D．

2．如图所示的几何体的主视图是（　　）

    A．    B．    C．    D．

3．（2010•宁德）下列运算中，结果正确的是（　　）

    A．a3÷a3=a    B．a2+a2=a4    C．（a3）2=a5    D．a•a=a2

4．（2010•宁德）下列事件是必然事件的是（　　）

    A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6    B．抛一枚硬币，正面朝上    C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组    D．打开电视，正在播放动画片

5．（2010•宁德）如图，在⊙O中，∠ACB=34°，则∠AOB的度数是（　　）

    A．17°    B．34°    C．56°    D．68°

6．（2010•宁德）今年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中指出，“加大教育投入．提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例，2012年达到4%．”如果2012年我国国内生产总值为435 000亿元，那么2012年国家财政性教育经费支出应为（结果用科学记数法表示）（　　）

    A．4.35×105亿元    B．1.74×105亿元    C．1.74×104亿元    D．174×102亿元

7．（2010•宁德）下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（　　）

    A．    B．    C．    D．

8．（2010•宁德）反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（　　）

    A．增大    B．减小    C．不变    D．先减小后增

9．（2010•宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是（　　）

    A．内含    B．内切    C．相交    D．外切

10．（2010•宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（　　）

    A．2+    B．2+2    C．12    D．18

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．（2010•宁德）计算：=　_________　．

12．（2010•宁德）分解因式：ax2+2axy+ay2=　_________　．

13．（2010•宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是　_________　度．

14．（2010•宁德）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为　_________　．

15．（2010•宁德）下表是中国2010年上海世博会官方网站公布的5月某一周入园参观人数，则这一周入园参观人数的平均数是　_________　万．

17．（2010•宁德）如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是　_________　（结果保留根号）．

18．（2010•宁德）用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得　_________　．

三、解答题（共8小题，满分86分）

19．（2010•宁德）（1）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）；

（2）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

20．（2010•宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：　_________　，并给予证明．

21．（2010•宁德）某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有　_________　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是　_________　，等级C对应的圆心角的度数为　_________　；

（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有　_________　人．

22．（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，

求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；

（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．

23．（2010•宁德）据宁德网报道：第三届海峡两岸茶业博览会在宁德市成功举办，提升了闽东茶叶的国内外知名度和市场竞争力，今年第一季茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的10倍．茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响，第一季茶青产量为198.6千克，比去年同期减少了87.4千克，但销售收入却比去年同期增加8500元．求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元？

24．（2010•宁德）如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线y=kx+b交于A、D两点．

（1）直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；

（2）如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字﹣1、1、3、4．随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标．则点P（m，n）落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？

25．（2010•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．

26．（2010•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．

（1）△EFG的边长是　_________　（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在　_________　；

（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：

①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．

2010年福建省宁德市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（2010•郴州）的相反数是（　　）

    A．3    B．﹣3    C．    D．

考点：相反数。

分析：在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．

解答：解：的相反数为﹣．

故选D．

点评：本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．

2．如图所示的几何体的主视图是（　　）

    A．    B．    C．    D．

考点：简单几何体的三视图。

分析：根据主视图是从正面看到的图形判定则可．

解答：解：从正面看，是一个等腰梯形，故选C．

点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

3．（2010•宁德）下列运算中，结果正确的是（　　）

    A．a3÷a3=a    B．a2+a2=a4    C．（a3）2=a5    D．a•a=a2

考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

分析：本题考查幂的运算法则，依据幂的运算法则计算即可．

解答：解：A、由于同底数的幂相除底数不变指数相减，故当a≠0时，a3÷a3=a0=1，故本选项错误；

B、a2+a2=2a2，故本选项错误；

C、依据幂的乘方运算法则可以得出（a3）2=a6，故本选项错误；

D、a•a=a2，正确．

故选D．

点评：本题考查幂的运算和整式的加减，是需要熟练掌握的知识．

4．（2010•宁德）下列事件是必然事件的是（　　）

    A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6    B．抛一枚硬币，正面朝上    C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组    D．打开电视，正在播放动画片

考点：随机事件。

分析：根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．

解答：解：A、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6，是随机事件，不符合题意；

B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；

C、3个人分成两组，一定有2个人分在一组，是必然事件，符合题意；

D、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意．

故选C．

点评：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．（2010•宁德）如图，在⊙O中，∠ACB=34°，则∠AOB的度数是（　　）

    A．17°    B．34°    C．56°    D．68°

考点：圆周角定理。

分析：欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．

解答：解：∵∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，

∴∠AOB=2∠ACB=68°．

故选D．

点评：此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

6．（2010•宁德）今年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中指出，“加大教育投入．提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例，2012年达到4%．”如果2012年我国国内生产总值为435 000亿元，那么2012年国家财政性教育经费支出应为（结果用科学记数法表示）（　　）

    A．4.35×105亿元    B．1.74×105亿元    C．1.74×104亿元    D．174×102亿元

考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：应用题。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

解答：解：435 000亿×4%=17 400亿元，用科学记数法表示是：1.74×104亿元．故选C．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．（2010•宁德）下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（　　）

    A．    B．    C．    D．

考点：中心对称图形。

分析：根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．

解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

点评：掌握好中心对称图形的概念是解题的关键．

【链接】如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

8．（2010•宁德）反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（　　）

    A．增大    B．减小    C．不变    D．先减小后增

考点：反比例函数的图象；反比例函数的性质。

分析：根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答．

解答：解：由解析式知k=1＞0，所以当x＞0时，函数y随着自变量x的增大而减小．

故选B．

点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

9．（2010•宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是（　　）

    A．内含    B．内切    C．相交    D．外切

考点：圆与圆的位置关系。

专题：网格型。

分析：观察图形，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，AB=3=1+2，即圆心距等于两圆半径和，可知两圆外切．

解答：解：当⊙A向右平移1个单位时，圆心距AB=3，而两圆半径和=3，所以，两圆外切，故选D．

点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．即设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．

10．（2010•宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（　　）

    A．2+    B．2+2    C．12    D．18

考点：剪纸问题；勾股定理。

分析：折叠后长方形的长为原来长的一半，减去4后即为得到等腰三角形底边长的一半；利用勾股定理即可求得等腰三角形的斜边长，周长=底边长+2腰长．

解答：解：展开后等腰三角形的底边长为2×（10÷2﹣4）=2；

腰长==，

所以展开后三角形的周长是2+2，故选B．

点评：解决本题的难点是利用折叠的性质得到等腰三角形的底边长．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．（2010•宁德）计算：=　1　．

考点：分式的加减法。

专题：计算题。

分析：根据同分母分式相加减的运算法则，分母不变，只把分子相加减求解即可．

解答：解：==1．

点评：本题考查了分式的加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．

12．（2010•宁德）分解因式：ax2+2axy+ay2=　a（x+y）2　．

考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．

解答：解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）

=a（x+y）2．…（完全平方公式）

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．

13．（2010•宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是　55　度．

考点：平行线的性质。

专题：计算题。

分析：先根据直角定义求出∠1的余角，再利用两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．

解答：解：如图，∵∠1=35°，

∴∠3=90°﹣∠1=55°，

∵直尺两边平行，

∴∠2=∠3=55°．

点评：本题与实际生活联系，主要考查平行线的性质，需要熟练掌握．

14．（2010•宁德）如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为　4　．

考点：三角形中位线定理。

分析：根据三角形的中位线定理的数量关系“三角形的中位线等于第三边的一半”，进行计算．

解答：解：∵点E、F分别为AB、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

又EF的长为2，

∴BC=2EF=4．

点评：此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．

15．（2010•宁德）下表是中国2010年上海世博会官方网站公布的5月某一周入园参观人数，则这一周入园参观人数的平均数是　34.88　万．

专题：图表型。

分析：只要运用平均数公式：，即可求出．

解答：解：平均数=（36.12+31.14+31.4+34.42+35.26+37.7+38.12）÷7≈34.88（万），

所以这一周入园参观人数的平均数是34.88万．

故填34.88．

点评：本题考查的是样本平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键．

16．（2010•宁德）如图，在▱ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC等于　4　．

考点：平行四边形的性质。

分析：根据平行四边形的性质，可知AB∥DC，所以△AEF∽△CFD，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．

解答：解：在▱ABCD中，

AB∥CD，AB=CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴，

∵AE=EB，AF=2，

∴FC=4．

故答案为4．

点评：本题利用平行四边形的性质和相似三角形对应边成比例求解，解题的关键是利用平行线证得相似三角形．

17．（2010•宁德）如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是　6　（结果保留根号）．

考点：垂径定理；勾股定理。

分析：连接OA，在构建的Rt△OCD中，由勾股定理可求出CM的值；由垂径定理知：CD=2MC，由此得解．

解答：解：连接OC；

Rt△OCM中，OC=6，OM=AB=3，

由勾股定理得：MC==3；

∴CD=2MC=6．

点评：此题主要考查了勾股定理及垂径定理的应用．

18．（2010•宁德）用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得　y=x﹣　．

考点：根据实际问题列一次函数关系式。

分析：分别根据图1，求出组装x个正方形用的火柴数量，即m与x之间的关系，再根据图2找到y与m之间的等量关系，最后利用m相同写出关于x，y的方程，整理即可表示出y与x之间的关系．

解答：解：由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，

∴m=1+3x，

由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，

∴m=2+5y，

所以：1+3x=2+5y

即y=x﹣．

点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．本题要注意分别找到x，y与m之间的相等关系，利用m作为等量关系列方程整理即可表示．

三、解答题（共8小题，满分86分）

19．（2010•宁德）（1）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）；

（2）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

考点：整式的混合运算；解二元一次方程组；在数轴上表示不等式的解集。

分析：（1）此题首先利用平方差公式去掉前面括号，然后利用整式的乘法法则去掉后面的括号，再合并同类项即可求出结果；

（2）此题首先去掉不等式中的分母，然后移项，合并同类项，最后化系数为1即可求出不等式的解．

解答：（1）解：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）

=a2﹣4﹣a2﹣a

=﹣a﹣4；

（2）解：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，

4x﹣2﹣15x﹣3≤6，

4x﹣15x≤6+2+3，

﹣11x≤11，

∴x≥﹣1

这个不等式的解集在数轴上表示如图：

点评：第一小题考查了整式的计算，利用了平方差公式、单项式乘多项式的法则、合并同类项等知识；

第二小题考查了不等式的解法，尤其是解不等式的一般步骤要熟练．

20．（2010•宁德）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：　AE=AF或∠EDA=∠FDA　，并给予证明．

考点：全等三角形的判定。

专题：证明题；开放型。

分析：要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．

解答：解：①添加条件：AE=AF，

证明：在△AED与△AFD中，

∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，

∴△AED≌△AFD（SAS），

②添加条件：∠EDA=∠FDA，

证明：在△AED与△AFD中，

∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，

∴△AED≌△AFD（ASA）．

点评：本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．

21．（2010•宁德）某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有　50　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是　40%　，等级C对应的圆心角的度数为　72°　；

（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有　595　人．

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。

专题：图表型。

分析：（1）由A等的人数和比例，根据总数=某等人数÷所占的比例计算；

（2）根据“总数=某等人数÷所占的比例”计算出D等的人数，总数﹣其它等的人数=C等的人数；

（3）由总数=某等人数÷所占的比例计算出B等的比例，由总比例为1计算出C等的比例，对应的圆心角=360°×比例；

（4）用样本估计总体．

解答：（1）总人数=A等人数÷A等的比例=15÷30%=50人；

（2）D等的人数=总人数×D等比例=50×10%=5人，

C等人数=50﹣20﹣15﹣5=10人，

如图：

（3）B等的比例=20÷50=40%，

C等的比例=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，

C等的圆心角=360°×20%=72°；

（4）估计达到A级和B级的学生数=（A等人数+B等人数）÷50×850=（15+20）÷50×850=595人．

点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

22．（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，

求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；

（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．

考点：相似三角形的应用。

专题：综合题。

分析：（1）先求出AE的长，再根据三角函数的定义求出∠ABE的度数，再通过等量代换即可求出∠CAD的度数．

（2）可根据sin∠CAD=直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，相似三角形的对应边成比例解答．

解答：解：（1）∵AD=0.66，

∴AE=AD=0.33，

在Rt△ABE中，（1分）

∵sin∠ABE==，

∴∠ABE≈12°，（4分）

∵∠CAD+∠DAB=90°，∠ABE+∠DAB=90°，

∴∠CAD=∠ABE=12°．

∴镜框与墙壁的夹角∠CAD的度数约为12°．（5分）

（2）解法一：

在Rt△ACD中，

∵sin∠CAD=，

∴CD=AD•sin∠CAD=0.66×sin12°≈0.14，（7分）

解法二：

∵∠CAD=∠ABE，

∠ACD=∠AEB=90°，

∴△ACD∽△BEA，（6分）

∴，

∴，

∴CD≈0.14．（7分）

∴镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米．（8分）

点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

23．（2010•宁德）据宁德网报道：第三届海峡两岸茶业博览会在宁德市成功举办，提升了闽东茶叶的国内外知名度和市场竞争力，今年第一季茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的10倍．茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响，第一季茶青产量为198.6千克，比去年同期减少了87.4千克，但销售收入却比去年同期增加8500元．求茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为多少元？

考点：一元一次方程的应用。

专题：经济问题。

分析：可设去年第一季茶青每千克的价格为x元．根据等量关系：销售收入比去年同期增加8500元．销售收入=售价×销售量作答．

解答：解：设去年第一季茶青每千克的价格为x元，则今年第一季茶青每千克的价格为10x元．

依题意得：（198.6+87.4）x+8500=198.6×10x，

解得x=5．

∴198.6×10×5=9930（元）．

答：茶农叶亮亮今年第一季茶青的销售收入为9930元．

点评：考查列方程模型解决实际问题，关键在于设求知数，正确找到等量关系列方程．

24．（2010•宁德）如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线y=kx+b交于A、D两点．

（1）直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；

（2）如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字﹣1、1、3、4．随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标．则点P（m，n）落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？

考点：二次函数综合题；几何概率；列表法与树状图法。

专题：综合题。

分析：（1）抛物线的关系式知道，就能求出图象与x轴的坐标，由两点式可以写出直线AD的解析式．（2）随机抛掷这枚骰子两次，可能出现16种情况，出现在阴影中情况有7种，求出概率．

解答：解：（1）A点坐标：（﹣3，0），C点坐标：C（4，0）；

直线AD解析式：．

（2）由抛物线与直线解析式可知，当m=﹣1时，﹣≤n≤，当m=1时，﹣1≤n≤，

当m=3时，﹣≤n≤，当m=4时，﹣≤n≤0，

所有可能出现的结果如下：

第一次

（﹣1，1），（1，﹣1），（1，1），（1，3），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣1）．

因此P（落在抛物线与直线围成区域内）=．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了求抛物线的解析式，概率等知识点．

25．（2010•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理。

专题：几何综合题。

分析：（1）由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45，容易证出△AMB≌△ENB；

（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；

②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；

（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为．

解答：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°，

∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．

即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，

∴AM=EN，

∵∠MBN=60°，MB=NB，

∴△BMN是等边三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF=90°﹣60°=30°．

设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．

在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

∴（）2+（x+x）2=．（12分）

解得，x=（舍去负值）．

∴正方形的边长为．（13分）

点评：本题考查轴对称的性质和正方形的性质，是一道综合性的题目难度很大．

26．（2010•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．

（1）△EFG的边长是　x　（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在　D　；

（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：

①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．

考点：二次函数的最值；梯形。

专题：压轴题；分类讨论。

分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；

（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；

②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；

（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．

解答：解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，

∴BF=2BE=2x，

∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，

∴△EFG的边长是x；

过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．

在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，∴DH=．

当x=2时，BE=EF=2，

又∵EH=1=HF，∴DE=DF==2，

∴△DEF是等边三角形，

∴点G的位置在D点．

故答案为x，D点；

（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2；

②分两种情况：

Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．

由于在Rt△NMG中，∠G=60°，

所以，此时y=x2﹣（3x﹣6）2=；

Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，

∵EC=6﹣x，

∴y=（6﹣x）2=；

（3）当0＜x≤2时，

∵y=x2，在x＞0时，y随x增大而增大，

∴x=2时，y最大=；

当2＜x＜3时，∵y=，在x=时，y最大=；

当3≤x≤6时，∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小，

∴x=3时，y最大=．

综上所述：当x=时，y最大=．

点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．