黑龙江省2021-2020学年高一数学上学期期末考试试题

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．函数的定义域为（    ）

A．    B．    C．    D．

3．（    ）

A．    B．    C．    D．

4．函数（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（　　）

A．x＝0    B．    C．    D．

5．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（   ）

A．     B．          C．      D．

6．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（   ）

A．     B．    C．    D．

7．三个数，之间的大小关系是（   ）

A．﹤﹤    B．﹤﹤     C．﹤﹤        D．﹤﹤

8．函数在上的图象大致是（   ）

A．        

     B．

C．    D．

9．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A、         B、           C、或    D、

10．若，则（    ）

A．             B．              C．               D．

11．定义在上的函数，满足，则（    ）

A．    B．    C．1    D．2

12．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道,若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为__________．

14．计算______________．

15．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为_______________.

16．已知函数是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论：

①；

②若在上有最小值，则在上有最大值1；

③若在上为增函数，则在上为减函数；

④若时，则时，；

其中正确结论的序号为______________

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．

（1）求集合A，B；

（2）求，．

18．计算下列各式

（1）

（2）

19．已知，且是第一象限角.

（1）求的值.        （2）求的值.

20．已知函数；

（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；

（2）求函数在上的最大值与最小值及对应的的值.

21．已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）将函数图像向右平移个单位得到函数的图像，若 ，且，求的值．

22．已知函数．

判断并证明函数的奇偶性；

判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明；

若对一切恒成立，求实数a的取值范围

参

1．C

【解析】

,,故选C.

2．B

【解析】

【分析】

使函数有意义的x满足 解不等式组即得解.

【详解】

使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.

故选B.

【点睛】

本题考查了具体函数定义域，属于基础题.

3．B

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简计算。

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查诱导公式化简计算即可，需熟练掌握常见角度的三角函数值。

4．B

【解析】

的对称轴方程由得：，

当时，即为其一条对称轴的方程，

故选B．

5．C

【解析】

【分析】

对四个选项逐一判断函数在上的单调性，由此得出符合题意的函数.

【详解】

对于A选项，函数在上递增，不符合题意；对于B选项，函数在上递增，不符合题意；对于C选项，函数在上递减，符合题意；对于D选项，函数在上递增，不符合题意.综上所述，本题选C.

【点睛】

本小题主要考查基本初等函数的单调性，属于基础题.其中二次函数的单调性由和对称轴共同决定，时，函数图像开口向上，在对称轴两边左减右增.时，函数图像开口向下，在对称轴两边左增右减.一次函数的单调性由来决定，当时递增，当时递减.

6．B

【解析】

【分析】

由题意，结合函数的图象变换规律，即可列出方程，得到答案.

【详解】

把函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，

根据所得图象与函数的图象重合，可得，k∈Z.

令时，，故选B.

【点睛】

本题主要靠考查了三角函数的图象变换及其应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换与三角函数图象的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．C

【解析】

试题分析：根据题意，结合指数函数与对数函数的性质可知，三个数，，，，可知大小关系为﹤﹤，故选C.

考点：指数式与对数式

点评：主要是考查了对数与指数的比较大小，属于基础题。

8．D

【解析】

试题分析：定义域关于原点对称，因为，所以函数为定义域内的奇函数，可排除，；因为，

，可排除.故选.

考点：函数图象的识别.

9．B

【解析】

试题分析：因为，所以零点所在区间为，故选择B．

考点：零点存在性定理．

10．D

【解析】

试题分析：原式可化为，上下同除以得，求得 ，故选D．

考点：三角函数化简求值．

11．A

【解析】

故选A

12．C

【解析】

【分析】

利用“调日法”进行计算，即可得出结论．

【详解】

解：由调日法运算方法可知，

第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，

第二次用“调日法”后得是更为精确的不足近似值，即，

第三次用“调日法”后得是更为精确的过剩近似值，即，

故第三次“调日法”后得到为的近似分数．

故选：．

【点睛】

本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．

13．4

【解析】由于弧长，所以，应填答案。

14．

【解析】

【分析】

根据对数的换底公式得到，即可求解，得到答案.

【详解】

由对数的换底公式，可得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了对数的运算的化简求值问题，其中解答中熟记对数的运算公式和对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15．

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性，将不等式，转化为 或，化简即可求解.

【详解】

因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数

所以在上是减函数，因为，所以

所以不等式等价为 或

解得 或 

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性以及抽象不等式的解法，属于中等题.

16．①②④

【解析】

试题分析：①因为函数是定义在R上的奇函数，所以正确；②正确，奇函数关于原点对称，所以正确；③奇函数在对称区间的单调性相同，所以函数在上为增函数，所以不正确；④当时，，根据奇函数的性质，所以正确，故选①②④.

考点：函数的性质

17．（1），；（2），．

【解析】

试题分析：（1）根据偶次被开方数大于等于0，及指数函数的单调性可得集合．根据分式中分母不为0，及对数中真数大于0可得集合．（2）画数轴分析可得．

试题解析：（1）由得，所以函数的定义域．

由，所以函数函数的定义域．

（2），．

考点：1函数的定义域；2集合的运算．

【易错点晴】求集合交集，并集的运算时，在画数轴时各范围的端点能否取到一定要注意，否则容易出错．

18．（1）8（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用对数计算公式得到答案.

（2）直接利用指数运算法则得到到答案.

【详解】

（1）原式＝

（2）原式

【点睛】

本题考查了对数与指数的运算，属于基础题型.

19．(1) .(2) .

【解析】

试题分析：（1）是第一象限角,所以，所以，即可得解；

（2）由，结合诱导公式即可得解.

试题解析：

(1)因为是第一象限角,所以.

因为.所以.

(2)因为.

所以.

20．（1）答案见解析（2）答案见解析

【解析】

【分析】

(1)根据正弦函数的周期公式 ,即可求得函数的周期.利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间.

(2)根据正弦函数的定义域的单调性,即求得函数在区间上的最大值和最小值.

【详解】

（1）   得:

根据正弦函数的周期公式 得:

又 的单调增区间为:    

 单调增区间为:   

化简可得:  

 函数的单调递增区间为:   

(2)由上问可知的单调递增区间为:   

 在上单调递增,  在上单调递减,

   在 处取得最大值为:

   在 处取得最小值为: 

综上所述:当 ,取得最大值为

当,,取得最小值为

【点睛】

本题考查了正弦函数的周期公式,单调区间和最值问题,熟练掌握正弦函数的相关知识,并且能够灵活运用是解本题关键.

21．（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ），得，又g（）= cos（-）=，

== cos（-），即可求出结果.

试题解析：（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，则．

（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得

 g（）= cos（-）=，

== cos（-）=.

考点：1.三角函数的性质；2.诱导公式.

22．（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域，再根据定义判断并证明即可，

根据定义证明单调性的步骤证明即可，

若对一切恒成立，转化为，即可求出a的范围

【详解】

（1）由题意，要使函数有意义，得，即函数的定义域为，

，，为奇函数；

在上单调递减，

证明如下：设，

则，

因为

，

，，，即，

在上单调递减．

对一切恒成立，

，，

，，当时，取最大值，即，

，解得，

故a的取值范围为．

【点睛】

本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的单调性和奇偶性的证明，以及函数的恒成立问题的求解，以及换元法和函数的最值的计算等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，着重考查了中档试题。