2018年暨南大学高等代数考研真题

2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

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学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、

运筹学与控制论专业

研究方向：各方向

考试科目名称：高等代数                         考试科目代码：810

考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分

一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。）

1、设为3阶矩阵, , 求=          。       

2、当实数         时，多项式有重根。   

3、取值          时，齐次线性方程组有非零解。

4、实二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12，则=     ，=     。

5、矩阵方程, 那么                   。

6、已知向量，，是欧氏空间的一组标准正交基,则向量在这组基下的坐标为                 。   

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7、已知矩阵均可逆，，则                  。

8、4阶方阵的Jordan标准形是                   。    

9、在欧氏空间中，已知，，则与的夹角为         （内积按通常的定义）。       

10、设三维线性空间V上的线性变换在基下的矩阵为，则在

基下的矩阵为                    。     

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二、（10分）求多项式与的最大公因式。

三、（10分）计算行列式。

四、（15分）设线性方程组

讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。

五、（15分）设为级实对称矩阵，，的秩等于（）。

（1）证明：存在正交矩阵，使 其中是级单位矩阵.

（2）计算。

六、(15分) 设二次型,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准形

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7、(15分)为数域上四维向量空间，，，，，的子空间，，试求和的基与维数。

八、（15分）设是线性空间的线性变换且。令，。

证明:且对每个有。

九、（15分）设，求正交矩阵，使得是对角矩阵。

十、（10分）设为方阵，是的最小多项式，为任意多项式。                 证明：可逆的充分必要条件是。

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