2015高考数学全国2卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}21012，，--=A ,()(){}

021<+-=x x x B ,则=B A

A 、{}0,1-

B 、{}1,0

C 、{}101，-

D 、{}210，

2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、2

3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下

结论中不正确的是

A 、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显

B 、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C 、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D 、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a

A 、21

B 、42

C 、63

D 、84 5、设函数()()⎩

⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥6、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图

如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为

A 、

81 B 、7

1 C 、61 D 、51 7、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN

A 、62

B 、8

C 、

D 、10

8、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”， 执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a

A 、0

B 、2

C 、4

D 、14

9、已知A ，B 是球O 的球面上两点，

90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。若三菱锥 ABC O -体积的最大值为36，则求O 的表面积为

A 、π36

B 、π

C 、π144

D 、π256

10、如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点。点P 沿着BC ，CD 与DA 运动，记x BOP =∠，将点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数()x f ,

则()x f y =的图像大致为

B 、

C 、

D 、

11、已知A 、B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为

120，则E 的离心率为

A 、5

B 、2

C 、3

D 、2

12、设函数()x f

/是奇函数()x f ()R x ∈的导函数，()01=-f ，当0>x 时， ()()0/<-⋅x f x f x ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围是

A 、()()101,， -∞-

B 、()()∞+-，101

C 、()()011,，--∞-

D 、()()∞+，110

第二卷

二、填空题：

13、设向量a ，b 不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ_________。

14、若x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为_________。

15、()()4

1x x a ++的展开式中x 奇数次幂项的系数之和为32，则=a _______。 16、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则=n S ________。

三、解答题

17、（本小题12分）

在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍。

（1）求C

B ∠∠sin sin ； （2）若1=AD ，2

2=DC ，求BD 和AC 的长。

18、（本小题12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A 、B 两地区分别随机调查了20个用户，

得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（1）根据数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到分 不低于90分

满意度等级 不满意 满意 非常满意

记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假 设两地区用户的评价结果相互。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应 事件发生的概率，求C 的概率。

19、（本小题12分）

如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ，点E 、F 分别在 11B A 、11C D 上，且411==F D E A 。过点E 、F 的平面α与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值。

20、（本小题12分）

已知椭圆C ：2229m y x =+()0>m ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点A 和B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（2）若l 过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛m m ,3,延长线段OM 与C 相交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四

边形？若能，求出此时l 的斜率，若不能，说明理由。

21、（本小题12分）

设函数()mx x e x f m x -+=2。

（1）证明：()x f 在()0，∞-单调递减，在()∞+，0单调递增；

（2）若对于任意1x ，[]1,12-∈x ,都有()()121-≤-e x f x f ，求m 的取值范围。

选做题，请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分，做答时请写清题号。

22、（本小题10分）几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，O Θ与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两

点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点。

（1）证明：BC EF //；

（2）若AG 等于O Θ的半径，且32==MN AE ，求四边形EBCF 的面积。

23、（本小题10分）极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩

⎨⎧==ααsin cos t y t x ,（t 为参数，0≠t ）其中πα<<0， 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρsin 2=， 3C ：θρcos 32=。

（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；

（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值。

24、（本小题10分）不等式选讲

设a 、b 、c 、d 均为正数，且d c b a +=+,证明：

（1）若cd ab >，则d c b a +>+；

（2）d c b a +>+是d c b a -<-的充要条件。