第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题+答案

    （考试时间90分钟，满分100分）

一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分．否则得0分，本题满分50分）．

1．表示x的整数部分，表示x的小数部分，若， 则

    A．1；    B．2；    C．4；    D．6．

2．函数，则y的最小值等于(    )．

    A．0；    B．；    C．1；    D． 

3．如果m，n是偶数，关于x的方程有两个实数根，则其实根的情况是(    )．

    A．只有偶数根；        B．只有奇数根； 

    C．有奇数根，也有偶数根；    D．既没有奇数根也没有偶数根．

4．设三角形三边长a，b，c满足方程组，则a+b-c的值是(  )．

    A．-2或4；    B．3；    C．-2或3；    D．4．    

5．若一个三角形的三个内角之比为a:b:c，相应的外角之比为d:e:f，则下列结论中：(1)d:e:f=c:b:a；(2)d:e：f：(b+c):(a+c)：（a+b）；(3)d+e+f=2（a+b+c）；(4)a+d=b+e=c+f，正确结论的个数为(    )．

    A．O；    B.1；    C．2；    D．3．

6．如图，己知反比例函数上的两点A和B，过点A作AC垂直x轴于C，过点B作BD垂直x轴于D，AC与BD相交于点E，则与的大小关系是(    )．

    A．        B．    

    C．        D．与的大小关系不能确定．

7．，其中．则y的最小值为(    )．

    A.3；    B.4；    C.29；    D.5.5625.

8．若方程与有相同的根，且a，b，c为三角形三边，则此三角形

必定是(  )．

    A．直角三角形；    B．等腰三角形；    C．等边三角形；    D.等腰直角三角形．

9．设表示不大于x的最大整数，如=3， =2，则的个位数是(    )．

    A．2；    B．4；    C．6；    D．8．

10.右图为有名的Peterson图，由10个顶点和15条边组成，现在你有红，黄，蓝三种水彩原料，你可以用这三种原料进行混合获得新的颜色用你得到的颜色对Peterson图的15条边进行染色，要求共顶点的边不可以同色，那么你可以做到(    )．    

    A．用所有可以配得的颜色恰好进行染色，少一种都不行；

    B．只需要用配得的颜色中任意四种就可以染色了；

    C．不需要配颜色，直接用三原色就可以按要求进行染色；

    D．不可能按要求染色．

二、填空题（共10小题，每小题答对得5分，否则得O分，本题满分50分）．

11.若c是正整数，a，b，d，e，f是整数，且满足a+b=c，b+c=d，d+c=e，e+f =a，则a+b+c+d+e+f最小值为____________．

12．一个七位数，由不同的七个数字组成的，如果将这七位整数中任何相邻的两个数码看作一个两位整数，则它们都能被13或17整除，那么这个七位数最大为____．

13．己知，则__________.

14.如右图，在△ABC中，， ，且，则________.

15.对于实数x，y， 的最小值__________.

16.己在函数，， ，对于任意的x，令，那么y的最大值为___________ ．

17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BD=5，BC=6，则四边形ABCD的面积S=__________________.    

18.a为非零整数，若方程组的解算x、y、z为互不相同的正数，则a=___________.

19.a，b都为有理数，对于函数，定义域为[a，b]，(a＜b)，值域为[-b，23]，则b=___.

20.在△ABC中，D为内心，点E，F在大边BC上，己知BF=BA，CE=CA，则∠EOF与∠ABC+∠ACB的大小关系为：∠EOF_______(∠ABC+∠ACB)(选填“≤”，“＜”，“=”，“＞”“≥”)．

参

一、选择题．

1．C．

解：因为．且．所以故

2．C

解：当x≤-3时，y=-x -2，最小值为l；当-3 ＜x≤-2时，y=x+4，最小值将大于1；当-2＜x≤-3/2时，y=-x，最小值为3/2；当-3/2＜x≤-1时，y=3x+6，最小值将大于3/2；当x＞l时，y =x+4，最小值将大于3．

3．A．

解：设为方程的两个整数根，则由韦达定理可知己知m，n均为偶数，根据奇偶性分析得都必须为偶数．

4．B．

解：将的第一个式子依次减去第二个和第三个式子可得： 

，即或-2．∵a，b，c为三角形的三边长， 

5．B

解：由于三角形三个内角之比为a:b:c，故可设每一份为，根据三角形内角和原理得： ，解得故三个内角分别为：a，对应的三个外角分别为

，化简可得

结论(2)成立，(1)错误．由于d：e：f=(b+c)：（a+c）：(a+b)，若设d=k(b+c)，e=k(a+c)，f= k（a+b），k≠O，则d+e+f=2k（a+b+c）．因此结论(3)错误．对于结论(4)，由于a+d=a+k(b+c)，b+e=b+k（a+c），c+f =c+k(a+b)当且仅当k=l时，结论(4)才成立．

    综上所述，结论(2)正确，结论(1)，(3)，(4)错误．

6．B．

解：设点，则；同理， 

，即

7．B．

解： 

令，则由-3≤x≤3可得- 2.25≤z≤28．，则．.

8．A.

解：设两个方程的公共根为t，则有及．两式相减可得

当c=a时，则b=0不合题意，故c≠a，将代入任一方程，可得，故为直角三角形．

9．C．

解： ，显然，而

，所以只考虑乘方数的个位数字即可，这是一个简单的周期问题．

10．B

解：首先用三种原色总共可以配出7种完全不同的颜色，下面对Peterson图的边染色情况进行考虑：1.如果用三原色进行染色，不妨设三原色为1，2，3最上面的顶点三种颜色为1，2，3．可知只有，如图1，及图2两种情况．

在图l中，可知AC，CE必须同为2，AB，BD必须同为3，这与题意矛盾；在图2中，可知AC，CE必须同为2，DE，BD必须同为3，这也与题意矛盾．所以不可能用三原色进行染色．

2．现考虑用四种颜色进行染色，不妨设这四种颜色为l，2，3，4，则如图3可以得到四种颜色是可以对Peterson图进行染色的．故选项B正确．

二、填空题．    

11.4．

解：由题意可得a+b+c+d+e+f=c+e+a =2c+d+a=4c，而c是正整数，其最小值为l，所以a+b+c+d+e+f的最小值为4．

12.9178526.

解：由于每两位数码看成一个两位整数都能被13或17整除，故为了保证满足条件的整数最大，利用位值原则不难算出9178526.

13.0．

解：由变形可得，即．因而求解得到：所以.

14．

解：设，则由知CD∥EF，既以 EF:DC=1:3， ．由，可得； ．由此即可推得

，即．所以.

15.1．

解：方法1．，令，上式变成

．当y=-1，x=0时，S有最小值.

方法2．关于x的二次方程有实数解，其判别式

．上面关于y的二次不等式有解，其判别式，从而得S≥1．容易验证当（x，y）=（0，-1）时.

16.1．

解：因为y是中的最小值，由的图象可知：

17． 

解：∵AD=CD=BD=5，A，B，C在以D为圆心，5为半径的圆周上．如图，作⊙D延长 CD交OD于E，则AE=10，，AE=BC=6．由勾股定理得： 8．设梯形ABCD的高为h，由，得h=24/5.又．可得

AB=14/5.所以，梯形ABCD的面积

18.3．

解：由已知，即．又x+y=a-x，所以，解得，所以．由可知x，y是关于t的方程

的两不等正实根．由知a＞0，x，y不相等必须△＞O，即

由于，所以故，于是又因为

，所以因a为整数，故a=3．此时综上所述，a=3．

19.2．

解：的图象如右图所示：(l)当a≤-1≤6时，f(x)在x=-1处取得最小值，所以-b=-2，即b=2．而，所以，求得（舍）；(2)当a＜b＜-l时，f(x)在[a，b]上单调减．所以解之可得，但其解为无理数，故舍去；(3)当-1＜a＜b时f(x)在[a，b]上单调增，因而解之得：（舍），．所以，此时△=-8 ＜0无解，所以b=2．

20.=．

解：如图作辅助线，由己知，从而OA= OF；，从而OA=OE.由此可得OA=OF=OE，点O为△AEF的外心．由三角形外心性质知．又因为BF=BA，CE=CA，所以此时

比较可得