2021年黑龙江数学理科高考试题及答案解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（    ）

（A）｛--1,0｝  （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝  （D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得，故，故选A

（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（     ）

 （A）-（B）0（C）1（D）2

【答案】B

【解析】

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(      )

（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【答案】D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．

（4）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 (     )

（A）2（B）4（C）6（D）84

【答案】B

【解析】

（5）设函数,(     )

（A）3（B）6（C）9（D）12

【答案】C

【解析】由已知得，又，所以，故

．

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（A） （B）  （C） （D）

【答案】D

【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．

（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=

（A）2 （B）8（C）4 （D）10

【答案】C

【解析】

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0                B.2            C.4                D.14

【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π    B.π    C.144π    D.256π

【答案】C

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为

，故选C．

10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

【答案】B

【解析】

的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．

（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）√（B）2（C）√（D）√2

【答案】D

【解析】

（12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是

（A） （B）

（C） （D）

【答案】A

【解析】

记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是

，故选A．

二、填空题

（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

 【答案】

【解析】因为向量与平行，所以，则所以．

（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．

【答案】

（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．

【答案】

【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．

（16）设是数列的前n项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

三．解答题

（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。

(Ⅰ) 

(Ⅱ) 

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62  73  81  92  95  85  74    53  76

B地区：73  83  62  51  91  46  53  73    82

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

19．（12分）

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求直线AF与平面a所成角的正弦值

20. 已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.

21.设函数f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

（22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.  

（1）证明：EF平行于BC

（2） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（23）在直角坐标系xOy中，曲线，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：.

（1）.求与交点的直角坐标

（2）.若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值

（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明：