数列的求和法以及例题

                    福州三中金山校区   林继枫（350008）

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、利用常用求和公式求和（定义法）

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：   

2、等比数列求和公式： 

3、                 4、

5． 

例1 求和： 

解：1、当x=0时， 

2、当x=1时， 

3、当x0,且x1时，.

例2  已知，求。

解：由

    由等比数列求和公式得    

二、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法。

例3 求之和。

解：由于          （找通项及特征）

∴ 

＝  （分组求和）

＝

＝

＝

例4 已知数列：，求的值。

解：∵（找通项及特征）

                    （设制分组）

                   （裂项）

∴（分组、裂项求和）

三、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例5、求和: 

解:原式=

=

=

例6  求数列的前项和： 

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

                     当时，＝                          

当时，＝

例7 求数列的前项和。

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得  

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6) 

例8、求和： 

分析：由==

解：原式=

==

例9   求数列的前项和。

解：设                                        

则                           

          ＝

          ＝

五．错位相减求和法

例10、求和： 

分析：原式等价于

其中，象这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.

解：令

例11、求和： 

解：1、当a=1时， 

2、当a1时， 1

六、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

例12   求证： 

证明： 设………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

（反序）

       又由可得

       …………..…….. ②

 ①+②得  （反序相加）

        ∴   

例13   求的值。

解：设…………. ①

将①式右边反序得

      ……② （反序） 

     又

   ①+②得                                                    （反序相加）

∴