一元二次方程单元设计

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    1．本单元教学的主要内容．

    一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

    2．本单元在教材中的地位与作用．

    一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．

      教学重点

    1．一元二次方程及其它有关的概念．

    2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

    3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

    教学难点

    1．一元二次方程配方法解题．

    2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

    3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．

    教学关键

    1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

    2．用配方法解一元二次方程的步骤．

    3．解一元二次方程公式法的推导．

    课时划分

    本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

    22．1  一元二次方程              2课时

    22．2  降次──解一元二次方程    5课时

    22．3  实际问题与一元二次方程    4课时

过程与方法：（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

    （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

    （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

    （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

    （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

    （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．

    （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

    （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

    （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

    （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

    （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．

情感态度与价值观：经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

2.经历在具体情意中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。

3.理解配方法，能用配方法，公式法，因式分解法解数字系数的一元二次方程。

4.能根据具体问题的实际意义，检验检验方程的解是否合理。

5.会列出一元二次方程解决相关的实际问题，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系有有效模型，增强应用意识，培养分析和解决问题的能力。

2、一元二次方程和一元一次方程有什么区别与联系，如何解一元二次方程呢？它有那些方法呢

3、一元二次方程在实际中如何应用呢？

专题二：降次──解一元二次方程           （  5  课时）

专题三：实际问题与一元二次方程            （  4  课时）

…………

其中，专题    （或专题    中的活动   作为研究性学习）

    大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

上网了解《九章算术》的有关知识

一、复习引入

    学生活动：列方程．

    问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

    大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

    如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．

    整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

    如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．

    整理得：_________．

    问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

    如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

    整理，得：________．

    老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

    二、探索新知

    学生活动：请口答下面问题．

    （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

    （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

    老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

    因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

    一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

    一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

    例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

    分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

    解：去括号，得：

    40-16x-10x+4x2=18

    移项，得：4x2-26x+22=0

    其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

    例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）  将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

    分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

    解：去括号，得：

    x2+2x+1+x2-4=1

    移项，合并得：2x2+2x-4=0

    其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．

    三、巩固练习

    教材P32  练习1、2

    四、应用拓展

    例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

    分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．

    证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

    ∵（m-4）2≥0

    ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

    ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

    五、归纳小结（学生总结，老师点评）

    本节课要掌握：

    （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

    六、布置作业

    1．教材P34 习题22．1  1、2．

    2．选用作业设计．

2．对一元二次方程的概念及其相关概念的掌握情况以及变式应用的灵活处理能力