江苏省南京市2020届高三下学期阶段考试数学试题

1．集合A ＝{x |x 2－3x ≤0}，B ＝{x |y ＝lg(2－x )}，则A ∩B ＝

▲

．（用区间表示）

2．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在

这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为▲．3．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，复数

1＋i

2－i

－i ＝a ＋b i ，则a －b i ＝▲．

4．有四条线段其长度分别为2，3，5，7．从中任取3条，能构成三角形的概率为▲．5．如图，程序执行后输出的结果为

▲

．

6．设f (x )

2－2x －1，x ≥0，－2x ＋6，x ＜0

，若f (t )＞2，则实数t 的取值范围是

▲

．

7．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为▲．8．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －2ay －11＝0对称，则圆C 中以(a 2，－a

2

)为中

点的弦的长度为

▲

．

9．已知cos(x －π3)＝13，则cos(2x ＋π3)＋sin 2(π3

－x )的值为

▲．

10．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°且AB ＝3，BB 1＝4，

设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则△ABC 的面积为▲．11．已知函数f (x )＝sin(πx )(0＜x ＜1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则4a ＋1

b 的最小值为

▲．

12．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，若AD →·BD →＝8，AC →·BC →＝6，AB ＝3，则AC →·BD

→

＝

▲．

(第5题图)

南京市2019-2020学年度第二学期阶段考试

高三数学

本卷考试时间：120分钟

总分：160分

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点B

的坐标为(0，b )，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB →＝5BQ →

，则双曲线C 的离心率为

▲

．

14．已知f (x )＝

0，

0＜x ≤1，

|x 2－9|－3，x ＞1

，g (x )＝|ln x |，若函数y ＝f (x )＋g (x )－m (x ＞0)恰有两

个不相等的零点，则实数m 的取值范围为▲．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）

设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3c cos A ＋a sin C ＝3c ．

（1）求角A 的大小；

（2）若b ＋c ＝5，S △ABC ＝3，求a 的值．

16．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面SAB 是正三角形，P ，Q 分别为SA ，SD 的中点，且AD ＝SD ．求证：（1）PQ //平面SBC ；（2）SA ⊥BD ．

(第16题图)

如图，已知一张半径为1m 的圆形薄铁皮（O 为圆心，厚度忽略不计），从中裁剪一块扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器的侧面．

（1）若所裁剪的扇形的圆心角为2π3

，求圆锥形容器的体积；

（2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF ⊥x 轴，PF ＝2

2

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ＝2，求△AOB 面积的最大值．

O

（第17题图）

设函数f (x )＝x ＋ln x －a －a 2

x

(a ∈R )．

（1）讨论函数f (x )的单调性；

（2）当a ＝1时，记g (x )＝xf (x )，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式t ≥g (x )有解?若存在，请求出t 的最小值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

对于 n ∈N *，若数列{x n }满足x n ＋1－x n ＞1，则称这个数列为“K 型数列”．（1）已知数列：1，m ＋1，m 2是“K 型数列”，求实数m 的取值范围；

（2）是否存在首项为－1的等差数列{a n }为“K 型数列”，且其前n 项和S n 满足S n ＜1

2n 2

－n (n ∈N *)？若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由；

（3）已知各项均为正整数的等比数列{a n }是“K 型数列”，数列{1

2a n }不是“K 型数列”，

若b n ＝a n ＋1

n ＋1

，试判断数列{b n }是否为“K 型数列”，并说明理由．

本卷考试时间：30分钟总分：40分

21．本题包括A、B两小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵M＝1a

b1，N＝

c2

0d，若MN＝

10

01，求a，b，c，d的值．

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已

知直线l

x＝t

＝3t＋1(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ＝2sinθ．

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为(23，π

6

)，求PM的值．

A

B

C

C 1

B 1

A 1

F

D

(第23题图)

M P

Q

F y x

O 【必做题】第22题，第23题每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)

如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？

（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．

23．(本小题满分10分)

已知点P 为抛物线x 2＝2y 上异于坐标原点O 的任一点，F 为抛物线焦点．过点P 作抛物线的切线l 与y 轴交于点M ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）若点P 的横坐标为2，求点M 到直线PQ 的距离；（2）求ΔPQM 面积的最小值，并写出此时切线l 的方程．

(第22题图)