高中数学必修二《空间几何体》单元测试卷

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．下列命题正确的是(　　)

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是(　　)

A．三棱锥  B．四棱锥

C．五棱锥  D．六棱锥

3．给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

4．如图1­1是一幅电热水壶的主视图，它的俯视图是(　　)

图1­1　

5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)

A．16π  B．20π  C．24π  D．32π

6．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是(　　)

A.  B．1  C．2  D．3

7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是(　　)

A．4  B．3  C．2  D．5

8．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图1­2所示的平面图形，则标“△”的面的方位是(　　)

图1­2

A．南      B．北      C．西      D．下

9．图1­3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)

图1­3

A．32π  B．16π  C．12π  D．8π

10．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，如图1­4.若将△ABC绕BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是(　　)

图1­4

A.π  B.π  C.π  D.π

二、填空题(每小题5分，共20分)

11．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________．

12．圆台的高是12 cm，上、下两个底面半径分别为4 cm和9 cm，则圆台的侧面积是__________．

13．已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是________．

14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．

三、解答题(共80分)

15．(12分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离．

16．(12分)如图1­5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85 m，底面的边长是

1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)?

图1­5

17．(14分)如图1­6是一个奖杯的三视图．求这个奖杯的体积(精确到0.01 cm3)．

图1­6

18．(14分)如图1­7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？

图1­7

19．(14分)如图1­8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．

(1)求圆柱的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大．

图1­8

20．(14分)如图1­9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

图1­9

检测部分

第一章自主检测

1．D　2.D　3.A　4.D　5.C　6.B

7．B　解析：如图D60，设球的半径是r，则π·BD2＝5π，π·AC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设OA＝x.∴x2＋8＝r2，(x＋1)2＋5＝r2.解得r＝3.

图D60

8．B　9.C

10．D　解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，·π·()2×－·π·()2×1＝π.

11．2 　12.169π cm2　13.96　14.1∶8

15．解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形，知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为5π cm，则AD为2.5π cm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为＝  (cm)．

图D61

16．解：SE＝.

所需铁板面积为

S＝4×≈3.4(m2)．

17．解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体．

V正四棱台＝×5×(152＋15×11＋112)≈851.667(cm3)，

V长方体＝18×8×8＝1152(cm3)，

V球＝π×33≈113.097(cm3)，

所以，这个奖杯的体积为

V＝V正四棱台＋V长方体＋V球≈2116.76(cm3)．

18．解：当侧面AA1B1B水平放置时，纵截面中水液面积占1－＝，所以水液体积与三棱柱体积比为.

当底面ABC水平放置时，液面高度为8×＝6.

19．解：(1)设内接圆柱底面半径为r.其轴截面如图D62.

S圆柱侧＝2πr·x.　①

∵＝，

∴r＝(H－x)．　②

②代入①，得

S圆柱侧＝2πx·(H－x)＝(－x2＋Hx)(0(2)S圆柱侧＝(－x2＋Hx)＝，

∴x＝时，S圆柱侧最大＝.

图D62             　　图D63

20．解：如图D63，过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高EO1.

设OO1＝h，所以

S锥侧＝·4b·EO1＝2bEO1，

S台侧＝(4a＋4b)·EE1＝2(a＋b)·EE1.

所以2bEO1＝2(a＋b)EE1.　①

由于OO1E1E是直角梯形，其中OE＝，O1E1＝.

由勾股定理，有

EE＝h2＋2，EO＝h2＋2.　②

①式两边平方，把②代入，得

b2＝(a＋b)2.

解得h2＝，所以h＝ .

显然，由于a>0，b>0，所以此题当且仅当a