2011年苏州市初中毕业暨升学考试数学试卷

数   学

本试卷由选择题、填空题、解答题三大题组成，共29小题，满分130分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人相符合；

2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题须用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；

3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上。

1．的结果是

   A．－4            B．－1           C．            D． 

2．△ABC的内角和为

   A．180°          B．360°         C．540°           D．720°

3．已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，316 000 000这个数用科学记数法可表示为

   A．3.61×106        B．3.61×107      C．3.61×108         D．3.61×109

4．若m·23＝26，则m等于

   A．2              B．4             C．6               D．8

5．有一组数据：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是

   A．这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6

B．这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5

C．这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5

D．这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6

6．不等式组的所有整数解之和是

   A．9               B．12            C．13              D．15

7．已知，则的值是

   A．              B．－          C．2               D．－2

8．下列四个结论中，正确的是

   A．方程有两个不相等的实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根

D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根

9．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于

   A．             B．          C．         D． 

10．如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为

    A．3             B．         C．4           D． 

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上。

11．分解因式：  ▲  ．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于  ▲  ．

13．某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有  ▲  人．

14．函数的自变量x的取值范围是  ▲  ．

15．已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于  ▲  ．

16．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝，则线段BC的长度等于  ▲  ．

17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于  ▲  （结果保留根号）．

18．如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB＝3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是  ▲  （填“相离”、“相切”或“相交”）．

三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．

19．（本题满分5分）

    计算：．

20．（本题满分5分）

    解不等式：．

21．（本题满分5分）

    先化简，再求值：，其中．

22.已知,求方程的解

23．（本题满分6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．

    (1)求证：△ABD≌△ECB；

    (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．

24．（本题满分6分）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．

    (1)一只自由飞行的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；

    (2)现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树状图或列表法求解）？

25．（本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．

    (1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于  ▲  度；

    (2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

26．（本题满分8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．

    (1)弦长AB等于  ▲  （结果保留根号）；

    (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

    (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

27．（本题满分8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

    (1)如图①，当PA的长度等于  ▲  时，∠PAB＝60°；

              当PA的长度等于  ▲  时，△PAD是等腰三角形；

    (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．

28．（本题满分9分）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．

          小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．

          小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：

          问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

          问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是?

          请你解答上述两个问题．

29．（本题满分10分）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

    (1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

    (2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

    (3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

2011年苏州市初中毕业暨升学考试试卷

数学试题参

一、选择题

1. B            2. A            3. C            4. D            5. C

6. B            7. D            8. D            9. B           10. C

二、填空题

11. (a+3)(a-3)          12. 3            13. 108          14.x＞1

15. －1               16.1            17.      18. 相交

三、解答题

19. 解：原式 

= 2．

20. 解：,

得  ,

∴．

21. 解：原式 

当时，原式．

22. 解：由，得．

由方程得

解之得．

经检验，是原方程的解.

23. 证明：(1) ∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠EBC．

又∵CE⊥BD，∠A＝90°，

∴∠A＝∠CEB．

在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB．

（2）解法一：∵∠DBC＝50°，BC＝BD，

∴∠EDC＝65°．

又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°．

∴∠DCE＝90°－∠EDC＝25°．

解法二：∵∠DBC＝50°，BC＝BD，

∴∠BCD＝65°．

又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝40°．

∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．

24. 解：（1）P（小鸟落在草坪上）．

（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：

25. 解：（1）30．

（2）由题意得：∠PBH＝25°，∠APB＝45°

   ∵∠ABC＝30°，∠ABP＝90°．

　在Rt△PHB中，．

　在Rt△PBA中，．

        答：A、B两点间的距离约为34.6米．

26. 解：（1）．

  （2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

  ∴∠BOD＝∠B+∠BCO，∠BCO＝∠A+∠D．

  ∴∠BOD＝∠B+∠A+∠D．

  又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°，

  ∴2∠A＝∠B+∠A+∠D＝2∠A+50°，

       ∴∠BOD＝2∠A＝100°．

       解法二：如图，连结OA．

       ∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B ，∠DOA＝∠D

       ∴∠DAB＝∠BAO +∠DAO＝∠B +∠D．

       又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°，

       ∴∠BOD＝2∠DAB＝100°．

（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，∴∠BCO>∠A，∠BCO>∠D．

     ∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°．

     此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°．

     ∴△DAC∽△BOC．

     ∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝＝．

27. 解：（1）2；或．

（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，

 垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC．

 ∵P点坐标为（a，b），∴PE＝b，PF＝a，PG＝4－a．

在△PAD、△PAB及△PBC中，

S1＝2a，S2＝2b，S3＝8－2a，

∵AB为直径，∴∠APB＝90°．

∴PE2＝AE·BE，即b2＝a(4－a)．

 ∴2S1 S3－S22＝4a(8－2a)－4b2

．

∴当a＝2时，b＝2，2S1 S3－S22有最大值16．

28.解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆

弧，及、以及．

∴顶点O在此运动过程中经过的路程为：

．

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：

．

正方形纸片OABC经过5旋转，顶点O经过的路程为：

．

问题②：∵正方形纸片OABC经过4旋转，顶点O经过的路程为：

． 

∴．

∴正方形纸片OABC经过次旋转．

29. 解：（1）令y＝0，由解得；

令x＝0，解得y＝8a．

∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，

该抛物线对称轴为直线x＝3．

∴OA＝2．

如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1．

由题意得：．

∴，∴∠O’AM＝60°．

∴，即．∴．

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立．

（Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM．

∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．

（Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，

∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)．

∴FB＝3，，∴3≤PB<．

∵PC≥4，∴PC>PB．

    （3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．

    如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

    ∴PA＝PB．

    ∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．

    ∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)．

    点P的坐标是(3，t)，

    ∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2．

    整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．

    ∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0

    ∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根．

    显然，满足题意．

    ∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．