第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

             主要内容

1.周期函数分解为傅里叶级数和信号的频谱；

    2.周期量的有效值，平均值；

    3.非正弦周期电流电路的计算和平均功率；

    4.谐波分析法。

§13-1 非正弦周期信号

  实际的交流发电机发出的电压波形与正弦波形或多或少有些差别，严格来讲是非正弦的。如果电路存在非线性元件，即使激励电压、电流是正弦波形，电路中也会产生非正弦电流。

非正弦电流可分为周期与非周期两种。

非正弦周期激励电压、电流或外施信号作用下, 分析和计算线性电路的方法，主要利用傅里叶级数展开法 ——— 谐波分析法。

1.将非正弦周期激励电压、电流或外施信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；

2.分别计算在各种频率正弦量单独作用下产生的正弦电流分量和电压分量；                                                  

    3.最后再根据线性电路的叠加定理，把所得分量的时域形式叠加，得到电路中实际的稳态电流和电压。

非正弦周期电流电路的计算实质上是化为一系列正弦电流电路的计算。

§13－2 周期函数分解为傅里叶级数

1.周期函数的分解

 周期函数 为周期

 若给定的满足狄里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数。

，，, ，， 

 2.的频谱（线频谱）

  分解为傅氏级数后包含哪些频率分量和各分量所占“比重”用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段进行表示，并按频率的高低把它们依次排列起来所得到的图形，称为的频谱。

 幅度频谱：表示出各谐波分量的振幅。

 相位频谱：把各次谐波的初相用相应的线段依次排列得到。 

 例13－1：求下图所示周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱。

  解：

      ∴   

3.的对称性与系数、关系

  ① 偶函数 

         纵轴对称 

    ② 奇函数

        原点对称  

  ③ 奇谐波函数

      镜对称    

 a：与计时起点无关，而  与计时起点有关，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变；

 b：由于系数  和  与初相  有关，所以它们也随计时起点的变动而改变；

 c：由于  和  与计时起点的选择有关，f(t) 是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关，函数是否为奇谐波函数与计时起点无关；

 d：函数的波形越光滑和越接近正弦形，其展开函数收敛得越快。

§13－3 有效值、平均值和平均功率

  1.有效值

  非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。

  2.平均值

  ① 非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值

  ② 正弦量平均值  。              

    因           

  相当于正弦电流经全波整流后的平均值。

      磁电系仪表       ∝       电流的恒定分量

      电磁系仪表       ∝       电流的有效值

      全波整流仪表       ∝      电流的平均值

  3.非正弦周期电流电路的功率

  ① 

  ②  

  其中  ，  

  平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。

  ③ 非正弦周期电流电路的视在功率：

§13－4 非正弦周期电流电路的计算

 ① 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所需准确度的高低而定；

    ② 分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量单独作用时的响应。

a.恒定分量（直流）求解，电容看作开路，电感看作短路；

b.各次谐波分量用相量法进行求解，但须注意感抗、容抗与频率有关；

 ③ 应用叠加定理，把步骤 ② 所计算出的结果化为时域表达式后进行相加，最终响应是用时间函数表示的。

 例13－2：下图所示电路中，输入电源为  

，，求电流  和电阻吸收的平均功率。

解：电流相量的一般表达式, 

     ，直流分量，，

例13－3：下图所示电路中，负载电阻, 为正弦全波整流波形，设 ，求负载两端电压的各谐波分量。

 解：给定电压 分解为傅里叶级数，得

 设负载两端电压的第k次谐波为 ，则 

① 直流作用：    （电容开路，电感短路）

② 2次谐波作用：

③ 4次谐波作用：

可见滤波后，尚约有3.5%的二次谐波。

感抗和容抗对各次谐波的反应是不同的，这种特性可以组成含有电感和电容的各种不同滤波电路，联接在输入和输出之间。可以让某些所需的频率分量顺利的通过而抑制某些不需要的分量。

§13－5 对称三相电路中的高次谐波

 对于对称三相制来说，3个对称的但非正弦的相电压在时间上依次相差  周期，但其变化规律则相似。

 把  展开成傅里叶级数（每相电压是奇谐波函数），有

正序对称组：基波，7次谐波（13次、19次等）是对称的三相电压，正序；

负序对称组：5次（11次、17次等）谐波，构成负序对称组；

零序对称组：3次（9次、15次等）谐波，彼此同相，构成零序对称组。

1. Y－Y系统中电源的线电压和相电压的关系

   ① 对于正序和负序谐波（基波、5次、7次等），线电压中的该分量的有效值为相电压同次谐波有效值的倍，即

 ② 对于零序谐波（3次，9次等）由于它们的大小相等且同相，线电压中不含这些谐波分量。

③ 线电压有效值一般小于相电压有效值的倍

  线电压中不含零序对称组谐波分量（线电压中零序组各谐波分量的有效值为零），因为零序对称组中各谐波分量的相电压相等，两个零序相电压相减后为零。

2.星形接法的负载

   ① 三相四线制中，星形负载没有中线。

   a：对基波、5次谐波等正序组和负序组来说，仍可以用相量法按对称三相电路归结为一相计算的方法来分别处理。这时电源中点和负载中点间的电压应为零，即, 负载电流和线电流中都将有基波、5次谐波等分量；

   b：对于3次、9次等零序组，中点之间的电压不等于零，而等于零序组相电压，因此不能用归结为一相的方法计算，负载电流和线电流中将不包含3次、9次等零序对称组电流。中点间的电压有效值只含有零序组分量，即

  由于负载中不含有3次、9次等零序组谐波电流，所以相电压中也不含这些谐波分量，负载端的线电压有效值仍是相电压的倍。

   ② 三相四线制中，星形负载有中线

线电流中将有零序组谐波分量。

3.对称三相非正弦电源连成三角形

    回路中正负组对称电压之和为零，电源相电压中的零序组谐波（如3次谐波），沿回路之和将不等于零，而等于每相电压中该谐波分量的3倍，回路将有3k（k=1,3,5……）次谐波的环行电流。

  三角形电源端线电压只含正负对称组成分，即有

§13－6 傅里叶级数的指数形式

 1)  k的取值是正、负整数，画出的幅度频谱对于纵轴对称；

 2) 画出的辐角与k的关系，就能获得相位频谱；

   3) 指数形式的频谱“谱线高度”是傅氏频谱的一半，另一方面，由于正负k完全对称，只要研究“半边”即可。

   例13－4：试将例13－1的矩形波展开为指数形式的傅氏级数，并画出幅度频谱和相位频谱。

   解：

    ∴ 

§13－7 傅里叶积分简介

  不重复的单个波形是一种非周期性函数，不能用傅氏级数表示，把这种非周期函数仍看作一种周期函数，在周期趋于无限大的条件下，其极限形式的傅氏级数展开式，表示了这种非周期函数的傅氏积分公式。

  当  越来越大时，的值及相邻谱线的间隔就越来越小；

  当 → ∞ 时，谱线变成连续的，而其幅度  将趋于无限小。

  当 → ∞ 时，，而相邻谐波之间的频率差也越来越小，即谱线越来越靠近，原来离散的各次谱波，其频率用  表示，现在可以把  看作是一个连续变量 。

    ① 

     傅里叶变换，将时间函数变成频率函数。

    ② 

     傅氏反变换,  

    ③ 

           (幅度频谱或幅频特性)

                      (相位频谱或相频特性)

    ④ 傅里叶变换和反变换的存在条件：满足狄里赫利条件，还要求  为绝对可积，即  为有限值。