一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（ ）
A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i
2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（ ）
A．50 B．60 C．120 D．90
4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
| 价格x | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
| 销售量y | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
5．下列说法错误的是（ ）
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（ ）
A．665 B．729 C．728 D．63
7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．2或6 D．2
8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（ ）
A．21 B．16 C．20 D．18
9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（a）+f（b）＜2f（1） B．f（a）+f（b）≤2f（1） C．f（a）+f（b）≥2f（1） D．f（a）+f（b）＞2f（1）
11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．
14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种．
16．观察下列等式：
+=1
+++=12
+++++=39
…
则当m＜n且m，n∈N时， = （最后结果用m，n表示）
三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：
（1）含x5的项；
（2）系数最大的项．
18．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．
21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．
| 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
| 男 | 5 | ||
| 女 | 10 | ||
| 合计 | 50 |
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．
下面的临界值表仅供参考：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（ ）
A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接移向变形得答案．
【解答】解：由z+3i﹣3=6﹣3i，得z=6﹣3i+3﹣3i=9﹣6i．
故选：D．
2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】求出在区间（1，2）上的增量△y=f（2）﹣f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率．
【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：
△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，
所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：
==2．
故选：B．
3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（ ）
A．50 B．60 C．120 D．90
【考点】计数原理的应用．
【分析】本题属于排列问题，全排即可．
【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，
故选：C
4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
| 价格x | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
| 销售量y | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
【考点】线性回归方程．
【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=y﹣bx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果．
【解答】解： ==10，
==8，
∵y=﹣3.2x+a，
∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．
故选D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
【考点】相关系数．
【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；
B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；
C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；
D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．
【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；
对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，
反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；
对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；
对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．
故选：B．
6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（ ）
A．665 B．729 C．728 D．63
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6，把x=﹣1，x=0代入已知式子计数可得结果．
【解答】解：∵（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x，
由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，
令x=﹣1可得：
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=．
∴|a1|+|a2|+…+|a6|=665．
故选：A．
7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．2或6 D．2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】由题意可知：求导，f′（2）=0，求得m的值，再分别利用函数极值的判断，求得m的值．
【解答】解：f（x）=x（x﹣m）2=x3﹣2mx2+m2x，则f′（x）=3x2﹣4mx+m2，
x=2是函数f（x）的极大值点，
f′（2）=0，12﹣8m+m2=0，解得m=2或6，
当m=2时，f（x）=x（x﹣2）2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜，
f′（x）＜0，解得：＜x＜2，
∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为：（，2），
∴x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；
当m=6时，f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36，
f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，
f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，
∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，2），（6，+∞），单调递减区间为：（2，6），
∴x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；
所以m=6，
故答案选：B．
8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（ ）
A．21 B．16 C．20 D．18
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．
【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）
选择y为积分变量
∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S=（y+4﹣y2）=（y2+4y﹣y3）|﹣24=18，
故选：D．
9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与事件．
【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可．
【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，
则事件A和事件B相互，
在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：
P（B|A）===．
故选：D．
10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（a）+f（b）＜2f（1） B．f（a）+f（b）≤2f（1） C．f（a）+f（b）≥2f（1） D．f（a）+f（b）＞2f（1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f（1）的大小关系．
【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，
若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：
①当x＞1时，有f′（x）＞0；
②当x＜1时，有f′（x）＜0，
∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，
∵a＞b＞1，
∴f（a）＞f（b）＞f（1）
∴f（a）+f（b）＞2f（1），
而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），
∴f（a）+f（b）=2f（1），
综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），
故选：C．
11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
【考点】归纳推理．
【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2016行只有M，
则M=（1+2016）•22014=2017×22014
故选：B．
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= 0.8413 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．
【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），
∴正态曲线关于x=2对称，
∵P（ξ＞3）=0.1587，
∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．
故答案为：0.8413
14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．
【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1
由于函数f（x）有两个极值点，
则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 36 种．
【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
16．观察下列等式：
+=1
+++=12
+++++=39
…
则当m＜n且m，n∈N时， = n2﹣m2 （最后结果用m，n表示）
【考点】归纳推理．
【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．
【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，
当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22
当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52
由归纳推理可知， =n2﹣m2．
故答案为：n2﹣m2
三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：
（1）含x5的项；
（2）系数最大的项．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】（1）由题意知=45，求得 n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项．
（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果．
【解答】解：（1）由题意知=45，∴n=10，Tk+1=•，令=5，得k=2．
所以含x3的项为 T3=•x3=45x3．
（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=•=252•．
18．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
【考点】数列递推式；数学归纳法．
【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．
（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故an=2﹣都成立．
【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3
∴a1=
当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5
∴a2=，
同样令n=3，则可求出a3=
∴a1=，a2=，a3=
猜测an=2﹣
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣，
当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，
且a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak
∴2k+1﹣ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2ak+1=2+2﹣，即ak+1=2﹣，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N+，an=2﹣都成立．
19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1次可视为3次重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．
（2）顾客抽奖1次可视为3次重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为： 所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
故X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
【分析】（Ⅰ）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．
（Ⅱ）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；
【解答】解析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）
又，
解得b=0，a=﹣3或a=1
（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．
∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，
令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=
若a=即a=﹣时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠﹣时
有a∈（﹣1，1）或者∈（﹣1，1）
解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣
综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣）∪（﹣，1）
21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．
| 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
| 男 | 5 | ||
| 女 | 10 | ||
| 合计 | 50 |
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．
下面的临界值表仅供参考：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；
（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．
（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．
【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得
列联表补充如下
| 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
| 男 | 20 | 5 | 25 |
| 女 | 10 | 15 | 25 |
| 合计 | 30 | 20 | 50 |
所以 K2≈8.333
又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．
（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，
记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，
则ξ的分布列：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49
22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．
（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．
【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．
②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．
所以f，满足条件．
③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．
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