函数性质的综合应用例题精选

一．函数的单调性

1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

2.在解答题中常用：定义法：取值――作差――变形――定号

注：为便于判断差的符号对差变形的方向是：完全平方的和或因式的积.

〔1〕假设函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间〔－∞，4〕 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ))；

〔2〕函数1()2ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，那么实数a 的取值范围_____〔答：1

(,)2

+∞〕； 〔3〕假设函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫

=+->≠ ⎪⎝⎭

且的值域为R ，那么实数a 的取值范围是______(答：

04a <≤且1a ≠))；

()

的单调区间）求（x x y 2log 422

1+-=

∴(

)

的单调增区间x x y 2log 2

2

1+-=为]10(，单调递减区间为)21[，.

(5)奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,假设0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。〔答：

12

23

m -

<<〕 二.函数的奇偶性。

1.具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如假设函数)(x f 2sin(3)x θ=+，

[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，那么θα-的值是 〔答：0〕

； 2.确定函数奇偶性的常用方法〔假设所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性〕：

①定义法：如判断函数y =

的奇偶性____〔答：奇函数〕。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()

1()

f x f x -=±〔()0f x ≠〕

。 如判断11

()(

)212

x

f x x =+-的奇偶性___.〔答：偶函数〕 ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

3.函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反.

〔1〕假设定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3

1(f =2，那么不等式2)(log 8

1>x f 的

解集为______.〔答：(0,0.5)(2,)+∞〕

②假设奇函数()f x 定义域中含有0，那么必有(0)0f =.

〔2〕假设22

()21

x x a a f x +-=+·为奇函数，那么实数a ＝____〔答：1〕.

上的奇函数，为定义在）（]11[)(3-x f

，时，当1

42)()10(+=∈x x

x f x []上的解析式。

在求1,1)(-x f 三.函数的周期性

1. 由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，那么()f x 是周期为a 的周期函数〞得：

①函数()f x 满足()()x f x a f -=+，那么()f x 是周期为2a 的周期函数；

②假设1

()(0)()f x a a f x +=

≠恒成立，那么2T a =； ③假设1

()(0)()

f x a a f x +=-≠恒成立，那么2T a =.

(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，那么)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；

(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，假设,αβ是锐角三角形的两个内角，那么(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：(sin )(cos )f f αβ>)； 〔3〕()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；

〔4〕设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，又()22f =，那么

()2006f =

.(12. 函数的对称性。

①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2

a b

x +=

对称。 特别地：假设x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，那么y=f(x)图像关于直线x=a 对称；

〔1〕二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，那么

)(x f ＝_____(答：2

12

x x -

+)； ②形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c

=-(由分母为零确定)和

直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c

-。

〔2〕函数)(1)(R a x

a a

x x f ∈--+=。求 函数)(x f 的图像对称点；

③|()|f x 的图象先保存()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保存()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。

〔2〕作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；

〔3〕假设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 〔答：

y 轴〕

四．指数式、对数式：

1.幂指数的运算法那么 m n

a

=，1m n

m n

a

a -=，01a =， n m n m a a a +=n n n

b a ab =)(mn

m n a a =)(

对数的运算法那么log 10a =，log 1a a =， 〔1〕n a a

b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +

);

(2) a

N

N b b a log log log =

( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) N a n

a =log ( a>0,a ≠1,N>0 );

(4) b a log 的符号由口诀“同正异负〞记忆;

)

0,;1,0(log log log >≠>+=N M a a N M MN a a a )0,;1,0(log log log >≠>-=N M a a N M N

M

a a a

2. 指数、对数值的大小比较： 〔1〕化同底后利用函数的单调性；〔2〕作差或作商法；〔3〕利用中间量〔0或1〕；〔4〕化同指数〔或同

真数〕后利用图象比较。 根本思维程序是： ①中间量〔0再1〕

②化为同底利用单调性〔可引进中间量：以保证同底、同真或同指〕 ③作差或作商法〔必要时可转化〕

3.指数函数 x

a y =与对数函数 y= x a log 〔a > 0，a ≠1〕 ①互为反函数，②其单调性与a 的大小有关， ③图像特征：

4.幂函数α

x y =及其性质〔只要求12231,,,,y x y x y x y y x x

=====〕.

〔1〕都过点〔1，1〕.

〔2〕0>α时，图像过点〔0，0〕，且在第一象限中逐渐上升，

0<α时，图像不过〔0，0〕，且在第一象限中逐渐下降.

〔3〕1>x 时，指大图高. 01>>x 时，指大图低. 5.函数)0(>+=a x

a

x y 的图象和性质； 定义域 ),0()0,(+∞⋃-∞ 值域 ),2[]2,(+∞⋃--∞a a 奇偶性 奇函数

单调性 在),[],,(+∞--∞a a 上单调递增；在],0(),0,[a a -上单调递增；

6. 二次函数

〔1〕二次函数的解析式。

*三种常用表达式：①)0(2≠++=a c bx ax y ，〔定义式〕；②)0(,)(2≠+-=a k h x a y 〔顶点式〕；③)0(),)((21≠--=a x x x x a y 〔两根式〕。

〔2〕. 透彻领悟“三个二次〞〔二次函数、二次方程、二次不等式〕的内在联系。

Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

函数y=ax 2+bx+c, (a>0)的图象

方程ax 2+bx+c=0 的根 a b x 22,1∆±-=

a b x 22,1-= 无实根 不等式ax 2

+bx+c>0的解

集

xx 2 x≠x 1,2 R

不等式ax 2+bx+c<0的解

集

x 1*两条规律：①二次函数0,)(>++=a c bx ax x f 的图象与轴的交点的横坐标21,x x 即二次方程

02=++c bx ax 的根，且对称轴方程为2

2

1

x x x +=；②不等式02>++c bx ax 〔或≤≥<,,〕的解集为0,)(2>++=a c bx ax x f 图象上方〔或下方〕的点的横坐标的集合。 【注意】当0a 时的情况求解。

函数性质的综合应用例题选讲

例1. 设函数1(12)

()1(23)

x f x x x ≤≤⎧=⎨

-<≤⎩,()()g x f x ax =-,[]1,3x ∈, 其中0a ≥.记函数g(x )的最大值与

最小值的差为()h a ,求()h a 的表达式并求()h a 的最小值.

【答案】解:1(12)()(1)1(23)

ax

x g x a x x -≤≤⎧=

⎨

--<≤⎩ 当12x ≤≤时,max min ()1,()12g x a g x a =-=- 当23x ≤≤时,假设01a ≤≤,那么[]()2,3g x 在上递增,

max min ()23,()12g x a g x a =-=-

假设1a >,那么[]()2,3g x 在上递减,

max min ()12,()23g x a g x a =-=-

max min 1

0()23,()122

a g x a g x a ∴≤≤=-=-时，

max min 1

1()1,()122

a g x a g x a ≤≤=-=-时， max min 1()1,()23a g x a g x a ≥=-=-时，

例2.函数2

)

)(1()(x a x x x f ++=

为偶函数.

(Ⅰ)求实数a 的值;

(Ⅱ)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-,2

1

lg 2lg 2lg5lg54

λ=++-,判断λ与E 的关系; (Ⅲ)当x ∈]1

,1[

n

m ()0,0>>n m 时,假设函数()f x 的值域为]32,32[n m --,求n m ,的值. 解: (Ⅰ))(x f 为偶函数 ()()f x f x ∴=- 22)

)(1())(1(x a x x x a x x +-+-=++∴

,0)1(2=+∴x a ∈x R 且0≠x ,1-=∴a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:221)(x x x f -= 当1x =±时,()0f x =;当2x =时,3()4f x = 304E ,⎧⎫

∴=⎨⎬⎩⎭

,

例3. 函数1

2

2

()log 1

ax f x x -=-(a 为常数). (1)假设常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;

(2)假设()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围. 〔答案〕解:(1)由

201ax x ->-,当02a <<时,解得1x <或2

x a >, 当0a <时,解得2

1x a

<<.

故当02a <<时,()f x 的定义域为{|x 1x <或2

x a

>}

当0a <时,()f x 的定义域为{|x 2

1x a

<<}.

(2)令2

1ax u x -=

-,因为12

()log f x u =为减函数,故要使()f x 在(2,4)上是减函数, 22

11

ax a u a x x --=

=+

--在(2,4)上为增且为正.

故有min 201222

(2)021

a a a u u -<⎧⎪

⇒≤<⎨->=≥⎪⎩-. 故[1,2)a ∈.

例4.设b

a

x f x x ++-=+122)(〔b a ,为实常数〕。

〔1〕当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数； 〔2〕设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值； 〔3〕求〔2〕中函数)(x f 的值域。

〔4〕当)(x f 是奇函数时，证明对任何实数x 、c 都有33)(2

+-〔答案〕〔1〕1212)(1++-=+x x

x f ，511212)1(2-=++-=f ，4

12121)1(=+-

=-f ，

所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不是奇函数； ……………4分 〔2〕)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，

即b

a b a x x x x ++--=++-++--1

12222对任意实数x 成立， 化简整理得0)2(2)42(2

)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x

，这是关于x 的恒等式，

所以⎩

⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ； ……………8分

〔3〕当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x

x x x f ，因为02>x ， 所以112>+x

，11210<+，从而21

)(2

1<

<-

x f ；所以函数)(x f 的值域为)21,21(-。 〔4〕 21)(21<<-

x f ； 而4

3

43)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立； 所以对任何实数x 、c 都有33)(2

+-例5.函数()f x 满足：对任意,x y R ∈，都有()()()()()2f x y f x f y f x f y +=•--+成立，且0x >时，

()2f x >。

〔1〕求(0)f 的值，并证明：当0x <时，1()2f x <<； 〔2〕判断()f x 的单调性并加以证明。

〔3〕假设函数()()g x f x k =-在(,0)-∞上递减，求实数k 的取值范围。 〔答案〕解：〔1〕2(0)(0)(0)(0)(0)2,(0)3(0)20,(0)2(0) 1.f f f f f f f f f =•--+∴-+===或

假设(0)1f =

那么•f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)-f(1)-f(0)+2=1,与条件0x >时，()2f x >相矛盾，所以(0)2f = 设0x <，那么0x ->，那么()2f x ->.

又2(0)()()()()()2f f x x f x f x f x f x ==-=•----+

()1

()1.()1()1

f x f x f x f x -∴=

=+----

1

()201()1

f x f x ->∴<

<--，从而1()2f x <<．

〔２〕函数()f x 在R 上是增函数．设12x x <，那么21210()2x x f x x ->∴->

2211211211()()()()()()2f x f x x x f x x f x f x x f x =-+=-•---+

[]2111()()1()2f x x f x f x =---+由〔１〕可知对任意1,()1()10x R f x f x ∈>∴->

又[]212111()2()()12()2f x x f x x f x f x ->∴-•->-

[]21111()()1()2()f x x f x f x f x -•--+>即21()()f x f x >

∴函数()f x 在R 上是增函数。

〔３〕

由〔２〕知函数()f x 在R 上是增函数，

∴函数()f x ()y f x k =-在R 上也是增函数，假设函数()()g x f x k =-在(),0-∞上递减，

那么(),0x ∈-∞时，()()()g x f x k k f x =-=-，即(),0x ∈-∞时，()0f x k -<．

(,0)x ∈-∞时，()(0)22f x f k <=∴≥

函数

1． 以下函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是

〔A 〕x x f sin )(=

〔B 〕1)(+-=x x f 〔C 〕)(2

1)(x x a a x f -+=

〔D 〕x

x

x f +-=22ln

)( 〔答案〕D

2．函数()()

2

2log ax x f a -=在)1,0(上为减函数，那么实数a 的取值范围

A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21

B. )2,1(

C. ]2,1(

D. ⎪⎭⎫

⎝⎛1,21

〔答案〕C

3．函数)1(+x f 是定义在R 上的奇函数，假设对于任意给定的不等实数21,x x ，不等式

0)]()()[(2121<--x f x f x x 恒成立，那么不等式0)1(<-x f 的解集为 〔〕

A.),1(+∞

B.),0(+∞

C.)0,(-∞

D.)1,(-∞ 〔答案〕C 4．⎩⎨⎧>≤+-=1,

log 1,

4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．1

(0,)3

C ．11[,)73

D ．1[,1)7

〔答案〕C

5． 偶函数()f x 满足()1f x -=()1f x +，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，那么关于x 的方程

1

()()10

x f x =，在[]0,3x ∈上解的个数是 〔 〕

A.1

B.2

C.3

D.4 〔答案〕D

6．假设奇函数))((R x x f ∈满足)2()()2(,1)2(f x f x f f +=+=，那么)5(f =〔 〕 A.0 B.1 C. 2

5

D. 5 〔答案〕C

7． 定义在R 上的函数)(x f y =，在),(a -∞上是增函数，且函数)(a x f y +=是偶函数，当a x a x ><21,，

且a x a x -<-21时，有 〔 〕

A.)()(21x f x f >

B. )()(21x f x f ≥

C. )()(21x f x f <

D. )()(21x f x f ≤

〔答案〕A 8．函数1

1

-=

x y 与()42sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于〔 〕 A 2

B 4

C 6

D 8

〔答案〕B

9．设函数3

)(x x f =，假设2

0π

θ≤≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，那么m 的取值范围为〔 〕 A ．)1,(-∞

B ．)2

1

,(-∞

C ．)1,0(

D ．)0,(-∞

〔答案〕A

10．对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：

①)2(+x f 是偶函数；

②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数 ③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．

其中正确命题的序号是

〔A 〕①② 〔B 〕①③ 〔C 〕②③ 〔D 〕①②③ 〔答案〕A

11．幂函数3

22

2)1(----=m m x m m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值是_____

〔答案〕2

12．函数()()

()a x x x f +-=1为奇函数，那么()x f 增区间为________。 〔答案〕⎥⎦⎤ ⎝

⎛

-∞-21,及⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞,2

1

13．)(x f 是x R ∈上的偶函数，()f x 的图像向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且(2)1f =-；那么(8)(9)(10)(2010)f f f f ++++……= 〔答案〕0

14．)(x f 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当[)1,0∈x 时，12)(-=x

x f ，那么)

6(log 5.0f 的值为_____． 〔答案〕21-

15.函数2

()2x f x a x

=-

-的一个零点在区间(1,2)内，那么实数a 的取值范围是___(0,3)_______ 16．假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图像上；②P 、Q 关于原点对

称，那么答点对〔P ，Q 〕是函数()y f x =的一个“友好点对〞〔点对〔P ，Q 〕与〔Q ，P 〕看作同一个“友

好点对〞〕。函数22410(),203x x x x f x x ⎧-+-≥⎪

=⎨-

<⎪⎩

那么此函数的“友好点对〞有 对。

〔答案〕2

17. 关于的方程2

(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，那么

b

a

的取值范围是_______________.12,2⎛⎫--

⎪⎝⎭

18．定义域为{|0}x R x ∈≠的函数()f x 满足：①对于()f x 定义域内的任意实数x ，都有

()()0f x f x -+=； ②当0>x 时，2()2f x x =-，

〔Ⅰ〕求()f x 在其定义域上的解析式； 〔Ⅱ〕解不等式：()f x x <．

解：〔Ⅰ〕∵对于()f x 定义域内的任意实数x ，都有()()0f x f x -+=，

∴()()f x f x -=-，故()f x 在其定义域为{|0}x R x ∈≠内是奇函数，

利用：当0>x 时，2

()2f x x =-可以解得()()()22

2020x x f x x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩

； 〔Ⅱ〕∵当202<0<2x x x x >-<时的解为 又∵当2022x x x x <-<<-时的解为

∴不等式()f x x <的解集为{}

0<22x x x <<-或者.

19.函数52)(2

+-=ax x x f 〔1>a 〕． 〔1〕假设)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；

〔2〕假设对任意的1x ，2x []1,

1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．

〔1〕∵2

2

5)()(a a x x f -+-=〔1>a 〕,

∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩

⎨⎧==1)()1(a f a

f ，

即⎩⎨⎧=+-=+-1

525212

2a a a a ， 解得 2=a ．〔5分〕 〔2〕假设2≥a ，又[]1,1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a

∴a f x f 26)1()(max -==，2

min 5)()(a a f x f -==．

∵对任意的1x ，2x []1,

1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，

∴4)()(min max ≤-x f x f ， 即 4)5()26(2

≤---a a ，解得 31≤≤-a ，

又2≥a ， ∴32≤≤a ．

假设12,a <<2max ()(1)6,f x f a a =+=-2

min 5)()(a a f x f -==，

4

)()(min max ≤-x f x f 显然成立， 综上

13a <≤。

〔12分〕

20.函数32()32

x x

x x

f x ---=+.〔Ⅰ〕判断()f x 的奇偶性； 〔Ⅱ〕判断()f x 的单调性,并加以证明； 〔Ⅲ〕写出()f x 的值域.

解：〔Ⅰ〕3223161

()3223161x x x x x x x x x x f x ---⋅--===+⋅++

所以6116()(),6116

x x

x

x

f x f x x R -----===-∈++，那么()f x 是奇函数. (3分) 〔Ⅱ〕 61(61)22

()1616161

x x x x x

f x -+-===-+++在R 上是增函数，(1分) 证明如下：任意取12,x x ，使得：1212660x x

x x >∴>> 那么12211212222(66)

()()06161(61)(61)

x x x

x x x f x f x --=-=>++++ 所以12()()f x f x >，那么()f x 在R 上是增函数. (4分)

〔Ⅲ〕20261x <<+2

()1(1,1)61

x f x ∴=-∈-+,那么()f x 的值域为(1,1)- (3分)

21. 设函数)10()1()(≠>--=-a a a

k a x f x

x

且是定义域为R 的奇函数．

〔1〕求k 的值； 〔2〕假设2

3)1(=

f ，且)(2)(22x f m a a x

g x

x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值． 解：〔1〕由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-，

即x x x x

a k a a k a

---+-=--)1()1(，

即0)())(1(=+-+---x x x x a a a a k ，0))(2(=+--x

x a a k ， 因为x 为任意实数，所以2=k ．

〔2〕由〔1〕x

x a a x f --=)(，因为23)1(=f ，所以2

31=-a a ， 解得2=a ．

故x x x f --=22)(，)22(222)(22x x x

x m x g ----+=，

令x x t --=22，那么222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡∞+∈,23t ，

所以2

222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t

当23当2

3

≥m 时，那么2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m 〔舍去〕． 综上，m 的值是2．

22.函数2

2

log )(+-=x x x f a 的定义域为[α，β]，值域为)1([log -βa a ，)1(log -αa a ]，并且)(x f 在α[，

]β上为减函数．

〔1〕求a 的取值范围； 〔2〕求证：βα<<<42；

〔答案〕解．〔1〕按题意，得)1(log )(2

2

log max -==+-αααa x f a a

．

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>->+-．

，01022ααα 即 2>α． 3分

又)1(log )(22log min -==+-βββa x f a a ∴ 关于x 的方程)1(log 2

2log -=+-x a x x a a ． 在〔2，＋∞〕内有二不等实根x ＝α、β．⇔关于x 的二次方程x a ax )1(2-+

0)1(2=-+a 在〔2，＋∞〕内有二异根α、β．

9100

)1(2)1(242210)1(8)1(102<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-+>--

>-+-=∆≠>⇔a a a a a

a a a a a a 且． 故 910<∴ βα<<<42． 10分

函数性质的综合应用例题选讲

例1. 设函数1(12)()1(23)

x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩,()()g x f x ax =-,[]1,3x ∈, 其中0a ≥.记函数g(x )的最大值与

最小值的差为()h a ,求()h a 的表达式并求()h a 的最小值.

例2.函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数. (Ⅰ)求实数a 的值; (Ⅱ)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-,21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-

,判断λ与E 的关系; (Ⅲ)当x ∈]1,1[

n m ()0,0>>n m 时,假设函数()f x 的值域为]32,32[n m --,求n m ,的值.

例3. 函数1

22()log 1

ax f x x -=-(a 为常数). (1)假设常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;

(2)假设()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.

例4.设b a x f x x ++-=+122)(〔b a ,为实常数〕。 〔1〕当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数；

〔2〕设)(x f 是奇函数，求a 与b 的值；

〔3〕求〔2〕中函数)(x f 的值域。

〔4〕当)(x f 是奇函数时，证明对任何实数x 、c 都有33)(2+-例5.函数()f x 满足：对任意,x y R ∈，都有()()()()()2f x y f x f y f x f y +=•--+成立，且0x >时，()2f x >。

〔1〕求(0)f 的值，并证明：当0x <时，1()2f x <<；

〔2〕判断()f x 的单调性并加以证明。

〔3〕假设函数()()g x f x k =-在(,0)-∞上递减，求实数k 的取值范围。

函数

1． 以下函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是〔 〕

〔A 〕x x f sin )(=

〔B 〕1)(+-=x x f 〔C 〕)(21

)(x x a a x f -+=

〔D 〕x x x f +-=22ln )( 2．函数()()

22log ax x f a -=在)1,0(上为减函数，那么实数a 的取值范围〔 〕 A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 B. )2,1( C. ]2,1( D. ⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,21 3．函数)1(+x f 是定义在R 上的奇函数，假设对于任意给定的不等实数21,x x ，不等式0)]()()[(2121<--x f x f x x 恒成立，那么不等式0)1(<-x f 的解集为 〔 〕

A.),1(+∞

B.),0(+∞

C.)0,(-∞

D.)1,(-∞

4．⎩⎨

⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1

(0,)3 C ．11

[,)73 D ．1

[,1)7

5． 偶函数()f x 满足()1f x -=()1f x +，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，那么关于x 的方程

1()()10

x f x =，在[]0,3x ∈上解的个数是 〔 〕 A.1 B.2 C.3 D.4

6．假设奇函数))((R x x f ∈满足)2()()2(,1)2(f x f x f f +=+=，那么)5(f =〔 〕

A.0

B.1

C. 2

5 D. 5 7． 定义在R 上的函数)(x f y =，在),(a -∞上是增函数，且函数)(a x f y +=是偶函数，当a x a x ><21,，且a x a x -<-21时，有 〔 〕

A.)()(21x f x f >

B. )()(21x f x f ≥

C. )()(21x f x f <

D. )()(21x f x f ≤

8．函数1

1-=x y 与()42sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于〔 〕 A 2

B 4

C 6

D 8 9．设函数3)(x x f =，假设20πθ≤

≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，那么m 的取值范围为〔 〕 A ．)1,(-∞ B ．)2

1

,(-∞ C ．)1,0( D ．)0,(-∞

10．对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：

①)2(+x f 是偶函数；

②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数

③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．

其中正确命题的序号是

〔A 〕①② 〔B 〕①③ 〔C 〕②③ 〔D 〕①②③

11．幂函数3222)1(----=m m x m m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值是_____

12．函数()()

()a x x x f +-=1为奇函数，那么()x f 增区间为________。

13．)(x f 是x R ∈上的偶函数，()f x 的图像向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且(2)1f =-；那么(8)(9)(10)(2010)f f f f ++++……=

14．)(x f 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当[)1,0∈x 时，12)(-=x x f ，那么)6(log 5.0f 的值为_____．

15.函数2()2x f x a x

=--的一个零点在区间(1,2)内，那么实数a 的取值范围是__________ 16．假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，那么答点对〔P ，Q 〕是函数()y f x =的一个“友好点对〞〔点对〔P ，Q 〕与〔Q ，P 〕看作同一个“友

好点对〞〕。函数22410(),203

x x x x f x x ⎧-+-≥⎪=⎨-<⎪⎩那么此函数的“友好点对〞有 对。 17. 关于的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈的两根分别为1x 、2x ，且1201x x <<<，那么

b a

的取值范围是_______________.

18．定义域为{|0}x R x ∈≠的函数()f x 满足：①对于()f x 定义域内的任意实数x ，都有 ()()0f x f x -+=； ②当0>x 时，2()2f x x =-，

〔Ⅰ〕求()f x 在其定义域上的解析式； 〔Ⅱ〕解不等式：()f x x <．

19.函数52)(2+-=ax x x f 〔1>a 〕．

〔1〕假设)(x f 的定义域和值域均是[]a ,

1，求实数a 的值； 〔2〕假设对任意的1x ，2x []1,

1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．

20.函数32()32

x x

x x f x ---=+.〔Ⅰ〕判断()f x 的奇偶性；

〔Ⅱ〕判断()f x 的单调性,并加以证明； 〔Ⅲ〕写出()f x 的值域.

21. 设函数)10()1()(≠>--=-a a a

k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数． 〔1〕求k 的值；

〔2〕假设23)1(=

f ，且)(2)(22x f m a a x

g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．

22.函数2

2log )(+-=x x x f a 的定义域为[α，β]，值域为)1([log -βa a ，)1(log -αa a ]，并且)(x f 在α[，]β上为减函数．

〔1〕求a 的取值范围；

〔2〕求证：βα<<<42；

杭州河高级中学高一数学期末练习卷

1．集合[]{}2sin ,5,5A y y x x ==∈-，{}

N x x x x B ∈≤-=,022，那么B A ⋂等于〔 B 〕

A ．[]2,0

B ． {}2,1,0

C ．{

}2,1 D ．(]2,0 2．角α的终边上一点的坐标为〔

22

sin ,cos )33，那么角α的最小正值为 〔 C 〕 A ．

2

3

B ．56

C ．53

D ．116

3.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，假设)(x f 的最小正周期是π，且当]2

,

0[π

∈x 时，

x x f sin )(=，那么)3

5(

π

f 的值为 〔 D 〕 A. 2

1

-

B. 2

1

C. 23-

D. 23

4．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63

ππ

内，那么满足此条件的一个ϕ值为〔 A 〕

A ．12π

B ．6π

C ．3

π

D ．56π

5.O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么 〔 B 〕 A ．2AO OD =

B ．AO OD =

C ．3AO O

D =

D ．2AO OD =

6.()

1,6,2a b a b a ==⋅-=那么向量a b 与的夹角为 〔 B 〕

A ．

2

π B ．

3

π C ．

4π D ．6

π

7.函数()cos(2)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤对x R ∈恒成立，那么 〔 A 〕

A.函数(1)f x +一定是偶函数

B.函数(1)f x -一定是偶函数

C.函数(1)f x +一定是奇函数

D.函数(1)f x -一定是奇函数

8.如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2

A π

ωϕ>><

在一个周期内的图象，M 、N 分别是最大、最小值

点，且OM ON ⊥，那么A ω⋅的值为〔 C 〕

A 、

6π B 、

26π

C 、76π

D 、712π

9. 函数2

1sin(),10,

(),0.

x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，假设(10()2,f f a +=那么a 的所有可能值为 〔 C 〕

〔A 〕1 〔B 〕22-

〔C 〕21,2- 〔D 〕21,2

10. Direchlet 函数定义为： 1 ()0R t Q D t t Q

∈⎧=⎨∈⎩，关于函数()D t 的性质表达不正确的选项是．．．．．．．〔 C 〕 A ．()D t 的值域为{}0,1 B ．()D t 为偶函数

C ．()

D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数

11. 函数9

()4,(0,4),1

f x x x x =-+

∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，那么在直角坐标系中函数 M

N

12π 56π y

||1

()()x b g x a

+=的图像为 〔 B 〕

12．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数(1)(1)f x f x -=-+，当1x >时，1()()2

x f x =，那么

函数11

()()cos ()(35)22

g x f x x x π=-+-≤≤的所有零点之和等于〔 B 〕 〔A 〕10 〔B 〕8

〔C 〕6

〔D 〕4

13．

,5sin cos 3cos 3sin =-+αααα那么=-αααcos sin sin 2 5

2

14. 函数x x y sin 2cos 2

+= (656ππ≤≤-x )的值域是__________。⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-2,41

15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2

π

个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,

那么||ϕ=_____.56

π

17. 函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，那么22

a b a b

+-的最小值等于〔 A 〕.

A ．225．23+ D ．2318．定义在R 上的函数()f x 满足：1(1),4()()()(),(2013)4

f f x f y f x y f x y f ==++-则= 12-

【解析】令1y =，得()(1)(1)f x f x f x =++-，记(1)()(1)f x f x f x +=--；

令0y =，得4()(0)2()f x f f x =，1

(0)2

f =；

因此 11111111

(0),(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)24424424

f f f f f f f f ===-=-=-===

函数()f x 是周期为6的函数，所以1

(2013)(63353)(3)2

f f f =⨯+==-．

19. 函数)0(12)(2

>++-=a b ax ax x g 在区间[]3,2上的最大值为4，最小值为1，记)()(x g x f =．

〔1〕求实数a b ,的值．

〔2〕假设不等式）（）（2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围．

解: 〔1〕a b x a x g -++-=1)1)(2

（，因为0>a ，所以)(x g 在区间[]3,2上是增函数，

故(2)1,(3)4,g g =⎧⎨

=⎩ 解得1,0.

a b =⎧⎨=⎩

〔2〕由可得12)()(2

+-==x x x g x f 为偶函数，所以不等式2log 2f k f >（）（），

可化为2log 2>k ，解得4>k 或4

1

0<

20.函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =-，对任意x R ∈都有()1f x x ≥-，

且11

()()22

f x f x -

+=--． 〔1〕求函数()f x 的解析式；

〔2〕是否存在实数a ，使函数12

()log [()]x g x f a =在(,)-∞+∞上为减函数？假设存在，求出实数a 的取值

范围；假设不存在，说明理由．

21. 函数)6

2sin(2)(f π

+

=x x

〔I 〕求函数()f x 的单调增区间；

〔II 〕将函数()f x 的图象向右平移ϕ〔02

π

ϕ<<

〕个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标

伸长到原来的4倍，得到函数()g x 的图象．假设直线4

3

x π=

是函数()g x 的图象的对称轴，求ϕ的值． 解：〔I 〕令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，k Z ∈，

得3

6

k x k π

π

ππ-

≤≤+

，k Z ∈

所以函数()f x 在每一个[,]()36

k k k Z π

π

ππ-

+∈区间是增函数． 〔II 〕将函数()2sin(2)6f x x π

=+

的图象向右平移ϕ个单位，得到函数1()2sin[2()]6

f x x π

ϕ=-+ 2sin(22)6

x π

ϕ=-+的图象．

将函数1()f x 图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数

1()2sin(2)26

g x x π

ϕ=-+的图象．

因为直线4

3x π=是函数()g x 的图象的对称轴，

所以142sin(2)2236ππϕ⨯-+=±，得52,62k k Z ππ

ϕπ-+=+∈

得,26

k k Z ππ

ϕ=-

+∈， 取0k =，得6

π

ϕ=

．

22.,,A B C 是直线上的不同三点，O 是外一点，向量满足2

3(1)2

OA x =+OB

(ln )x y OC +-，记．

〔I 〕求函数的解析式；

〔II 〕求函数的单调区间．

解：〔I 〕∵2

3

(1)(ln )2

OA x OB x y OC =++- ，且,,A B C 是直线l 上的不同三点，

∴23(1)(ln )12

x x y ++-=， ∴2

3ln 2

y x x =+；

〔II 〕∵2

3()ln 2

f x x x =+，∴2131()3x f x x x x +'=+=，

∵2

3()ln 2

f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x +'=在(0,)+∞上恒正，

∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，

即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞．

23. 设向量(,1),(,2),(),p x q x a x R ==+∈ 函数()f x p q =⋅.

〔Ⅰ〕假设不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2

()1f x x ≥-的解集；

〔Ⅱ〕假设函数2

()()1g x f x x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点， 求实数a 的取值范围.

解：〔Ⅰ〕2

()()22f x p q x x a x ax =⋅=++=++，不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，得3a =-，于是

()y f x =()y f x =()y f x =,,OA OB OC l l

2()32f x x x =-+． ……………………………3分

由2

()1f x x ≥-得，1-x 2

≤x 2

-3x +2，解得x ≤

1

2

或x ≥1， 所以，不等式2

()1f x x ≥-的解集为{x |x ≤

1

2

或x ≥1}． ……………………………7分 〔Ⅱ〕2

()23g x x ax =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，那么

2(1)0(2)0124

240g g a a >⎧⎪>⎪⎪

⎨

<-<⎪⎪->⎪⎩，，

……………10分 即502110842626a a a a a +>⎧⎪+>⎪⎨-<<-⎪⎪<->⎩，，或，

得：526a -<<- ∴ a 的取值范围是(5,26)--. ……………………………14分

24.函数2

()()x

f x ax x e =+,其中e 是自然数的底数,a R ∈.

(1)当0a <时,解不等式()0f x >;

(2)当0a =时,求整数k 的所有值,使方程()2f x x =+在[],1k k +上有解;

解析:(1)因为0x e >,所以不等式()0f x >即为20ax x +>,又因为0a <,所以不等式可化为1

()0x x a

+<,

所以不等式()0f x >的解集为1

(0,)a

-.

(2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+,由于e 0x >,所以0x =不是方程的解,所以原方程等价于

2e 10x x --=,令2()e 1x h x x =--,因为22

()e 0x h x x

'=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立,所以()h x 在

(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数,又

(1)e 30h =-<,2(2)e 20h =->,31

(3)e 03

h --=-<,2(2)e 0h --=>,所以方程()2f x x =+有且只有两个

实数根,且分别在区间[]12，

和[]32--，上,所以整数k 的所有值为{}3,1-.

杭州河高级中学高一数学期末练习卷

1．集合[]{}

2sin ,5,5A y y x x ==∈-，{}

N x x x x B ∈≤-=,022

，那么B A ⋂等于〔 〕

A ．[]2,0

B ． {}2,1,0

C ．{

}2,1 D ．(]2,0

2．角α的终边上一点的坐标为〔

22

sin ,cos )33，那么角α的最小正值为 〔 〕 A ．

2

3

B ．56

C ．53

D ．116

3.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，假设)(x f 的最小正周期是π，且当]2

,

0[π

∈x 时，

x x f sin )(=，那么)3

5(

π

f 的值为 〔 〕 A. 2

1

-

B. 2

1

C. 23-

D. 23

4．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63

ππ

内，那么满足此条件的一个ϕ值为〔 〕

A ．12π

B ．6π

C ．3

π

D ．56π

5.O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么 〔 〕 A ．2AO OD =

B ．AO OD =

C ．3AO O

D =

D ．2AO OD =

6.()

1,6,2a b a b a ==⋅-=那么向量a b 与的夹角为 〔 〕

A ．

2π B ．3π C ．4π D ．6

π

7.函数()cos(2)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤对x R ∈恒成立，那么 〔 〕 A.函数(1)f x +一定是偶函数 B.函数(1)f x -一定是偶函数 C.函数(1)f x +一定是奇函数 D.函数(1)f x -一定是奇函数

8.如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2

A π

ωϕ>><在一个周期内的图象，M 、N 分别是最大、最小值

点，且OM ON ⊥，那么A ω⋅的值为〔 〕

A 、6π

B 、26π

C 、

76

π D 、712π

9. 函数2

1sin(),10,

(),0.

x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，假设(10()2,f f a +=那么a 的所有可能值为 〔 〕

〔A 〕1 〔B 〕22- 〔C 〕21,2- 〔D 〕2

1,2

10. Direchlet 函数定义为： 1

()0R t Q D t t Q ∈⎧=⎨∈⎩

，关于函数()D t 的性质表达不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 A ．()D t 的值域为{}0,1 B ．()D t 为偶函数 C ．()D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数

11. 函数9

()4,(0,4),1

f x x x x =-+

∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，那么在直角坐标系中函数 M

N

12π 56π y

||1()()x b g x a +=的图像为 〔 〕

12．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数(1)(1)f x f x -=-+，当1x >时，1()()2x f x =，那么

函数11()()cos ()(35)22g x f x x x π=-

+-≤≤的所有零点之和等于〔 〕 〔A 〕10

〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕4 13．,5sin cos 3cos 3sin =-+α

ααα那么=-αααcos sin sin 2 14. 函数x x y sin 2cos 2+= (6

56ππ≤≤-x )的值域是__________。 15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2

π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合, 那么||ϕ=_____.

17. 函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，那么22

a b a b

+-的最小值等于〔 〕. A ．22 B ．5 C ．23+ D ．23

18．定义在R 上的函数()f x 满足：1(1),4()()()(),(2013)4

f f x f y f x y f x y f =

=++-则= 19. 函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[]3,2上的最大值为4，最小值为1，记)()(x g x f =． 〔1〕求实数a b ,的值．

〔2〕假设不等式）（）（2log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围．

20.函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =-，对任意x R ∈都有()1f x x ≥-，

且11()()22

f x f x -+=--．

〔1〕求函数()f x 的解析式；

〔2〕是否存在实数a ，使函数12

()log [()]x g x f a =在(,)-∞+∞上为减函数？假设存在，求出实数a 的取值

范围；假设不存在，说明理由．

21. 函数)62sin(2)(f π

+=x x

〔I 〕求函数()f x 的单调增区间；

〔II 〕将函数()f x 的图象向右平移ϕ〔02π

ϕ<<〕个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标

伸长到原来的4倍，得到函数()g x 的图象．假设直线43

x π=

是函数()g x 的图象的对称轴，求ϕ的值．

22.,,A B C 是直线上的不同三点，O 是外一点，向量满足23

(1)2

OA x =+OB (ln )x y OC +-，记．

〔I 〕求函数

的解析式； 〔II 〕求函数

的单调区间．

23. 设向量(,1),(,2),(),p x q x a x R ==+∈ 函数()f x p q =⋅.

()y f x =()y f x =()y f x =,,OA OB OC l l

〔Ⅰ〕假设不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2()1f x x ≥-的解集；

〔Ⅱ〕假设函数2

()()1g x f x x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点， 求实数a 的取值范围.

24.函数2()()x f x ax x e =+,其中e 是自然数的底数,a R ∈.

(1)当0a <时,解不等式()0f x >;

(2)当0a =时,求整数k 的所有值,使方程()2f x x =+在[],1k k +上有解;