几何非线性有限元分析课件(1)

8.1 大变形条件下的应变和应力度量

一．应变度量

结构的初始构型：

P：，  Q：

t时刻的构型：

P’：，  Q’：

两种构型下的坐标可相互转化：

* 拉各朗日（Lagrange）描述

   基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。

* 欧拉（Eular）描述

基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。

根据以上变换：

，   

定义：  ，   

PQ线段的长度：      

P’Q’变形后的长度：

,  Green-Lagrange 应变（Green应变）

,  Almansi 应变

定义位移向量： 

，   

在小应变情况下： 工程应变

一．应力度量

欧拉应力张量（Green应力张量）：

表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量

变形后表面上的应力：，  

    变形前的应力：

需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法：

（1）Lagrange规定：  

（2）Kirchhoff规定：

与坐标变换规律相同：

，  

：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称

，  

：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称

各种应力张量之间的关系：

    （1）由质量守恒：

    （2），  

    （3），  

    （4）

  注意：是非对称张量，是对称张量。

8.2 几何非线性问题的表达格式

几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方法。

考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在一系列时间点，，处于平衡状态的位移，速度，应变和应力。

一．虚位移原理（虚功原理）

：描述初始时刻的物体内各点坐标。

：描述时刻t的物体内各点坐标。

：描述时刻的物体内各点坐标。

，      

从t到的位移增量：

在时刻应用虚功原理：

增量法的求解的基本思想是：t意见时刻的相应是已知的，时刻的相应未知（待求）。由两种方法：

  （1）完全Lagrange格式（T.L. 格式：Total Lagrange Formulation）

       以初始时刻的构型为参考构型。

  （2）更新Lagrange格式（U.L. 格式：Updated Lagrange Formulation）

       以t时刻的构型为参考构型。

二．完全Lagrange格式

单位初始表面上的等效荷载（面力）：

单位初始质量上的等效荷载（体力）：

 如果荷载不随变形变化（保守力）：

由质量守恒，可知：

应力： 

因此，虚功原理可表示成：

为了便于求解：将应力和应变分解成：

         从t到时刻引起的应力增量

     从t到时刻引起的应变增量

将应变增量进一步分解：

虚功原理可进一步写成：

 T时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。

三．更新的Lagrange格式

更新的Lagrange格式的表达式，与完全Lagrange格式类似。所不同的是，参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改成t，即可获得更形的Lagrange格式的表达式。

（略）

四．平衡方程的线性化

（1）物理方程的线性化：

对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有

   材料的弹性常数张量。

（2）求解格式的进一步线性化： 

带入虚功方程， 

可获得用位移和应变表示的虚功方程：