2007年高考数学真题(广东卷)(数学文)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题。满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题号（或题组号），对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

用最小二乘法求线性回归方程系数公式

一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合, ,则=

A．{x|-1≤x＜1}        B．{x |x>1}           C．{x|-1＜x＜1}      D．{x |x≥-1}

【解析】,故,选(C).

2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=

A．-2                  B．             C.              D．2

【解析】,依题意, 选(D).

3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是

      A．单调递减的偶函数                        B.单调递减的奇函数

      C．单凋递增的偶函数                        D．单涮递增的奇函数

【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).

4．若向量满足,与的夹角为,则

      A．              B．                  C.              D．2

【解析】,选(B).

5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达  丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

【解析】依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).

6.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

【解析】逐一判除,易得答案(D).

7.图l是某县参加2007年高考的学   生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A.i<9   B.i<8  C.i<7   D.i<6

【解析】身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数为,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).

8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是

【解析】随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为(A).

9．已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为

【解析】依题意,结合可得,易得,故选(A).

10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给

A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将

A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,

但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少

的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为

A．18                B．17                 C．16                 D．15

【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!), 的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得, ,

, ,从而, , ,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是         ．

【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.

12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是           ．

【解析】由可得,答案:.

13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=        ；若它的第k项满足5【解析】{an}等差,易得,解不等式,可得

14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为            ．

【解析】法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程及直角坐标可得答案2.

15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC=         ．

【解析】由某定理可知,又,

故.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 

16．(本小题满分14分)

    已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

    (1)若,求c的值；        (2)若C=5，求sin∠A的值．

【解析】(1)…………………………………………………………4分

由可得………………6分,      解得………………8分

   (2)当时,可得, ΔABC为等腰三角形………………………10分

   过作交于,可求得……12分  故……14分

   (其它方法如①利用数量积求出进而求;②余弦定理正弦定理等!)

17．(本小题满分12分)

    已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主

视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视

图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

  (1)求该儿何体的体积V；

  (2)求该几何体的侧面积S

【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. …………………3分

  (2)……………7分      (3)………12分

18(本小题满分12分)

    F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生

产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据

    (2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；

    (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

  (参考数值：32．5+43+54+．5=66.5)

【解析】(1)画出散点图.  …………………………………………………………………………3分

  (2), , ,  …………………………………7分

     由所提供的公式可得,故所求线性回归方程为………10分

  (3)吨. ………………………………………………………12分

19(本小题满分14分)

    在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

  (1)求圆C的方程；  (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)设圆的方程为………………………2分

  依题意, ,…………5分

  解得,故所求圆的方程为……………………7分

  (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)

  (2)由椭圆的第一定义可得,故椭圆方程为,焦点……9分

  设,依题意,…………………11分

  解得或(舍去) ……………………13分  存在……14分

20．(本小题满分14分)

    已知函数,是力程以的两个根(α>β),是的导数,设     (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.

【解析】(1)求根公式得,…………3分

   (2)………4分    ………5分   ……7分

   ……10分

   ∴数列是首项,公比为2的等比数列………11分

   ∴………………………………………………………14分21．(本小题满分l4分)

    已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.

【解析】若,则,令,不符题意, 故………2分

   当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或…6分

     解得或…………………………………………………………8分

   当在[-1,1]上有两个零点时,则…………………………10分

      解得即………12分

   综上,实数的取值范围为. ………………………………14分

(别解:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.)