初三垂径定理练习题

1.如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为(   )

A.3              B.4                 C.3                  D.4 

2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（   ）

A. 2                                          B. 1                                          C.                                           D. 4

3.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（      ）个  

            A.    1                                          B. 2                                          C. 3                                          D. 4

4.下列命题正确的个数是（       ）

①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

5.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则BE的长为(    )

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

6.如图， 是 的直径， 是弦， ，垂足为点 ，连接 、 、 ， ， ，那么 的长为（    ）

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

7.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(     )

A.                                     B. 2                                     C.                                     D. 3 

8.如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(      )

A. r                                        B. r                                        C. r                                        D. 2r

9.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（    ）            

A. 30°                               B. 60°                               C. 30°或150°                               D. 60°或120°

10.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（    ）

A.40°             B.50°             C.70°                 D.80°

11.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（   ）

A.           B.2             C.2              D.3

12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为（   ）

A.3                B.4              C.5              D.2.6

13.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（    ）

A. 3cm                                 B. cm                                 C. 2.5cm                                 D. cm

14.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．

15.如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．

16.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．

17.已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，若AD=8，tanA= ．

（1）求弦BC的长；    

（2）求⊙O半径的长．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C  

【解析】【解答】解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD，

∵AB=CD=8，

∴OE=OF，DE=CE=4，

在Rt∆ODE中，DE=4，OD=5，

∴OE==3;

∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，

∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，

∴四边形OEPF是矩形，

而OE=OF，

∴四边形OEPF是正方形，

∴OE=EP=3，

在Rt∆OPE中，

由勾股定理可得OP=.故选C。

【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，连接OD，由垂径定理可得OE=OF，DE=CE，在Rt∆ODE中，用勾股定理可求得OE的长；根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP，在Rt∆OPE中，用勾股定理可求得OP的长。

2.【答案】A  

【解析】【解答】解：∵∠A=15°,∴∠COB=30°,∵AB⊥CD,∴CD=2CE,∠CEO=90°,在△COE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2,∴CE=,∴CD=2CE=2;

故答案为：A。

【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CE的长，再根据垂径定理即可得出答案。

3.【答案】C  

【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交圆O于点E3  ， 

∵OA=OB=5，

∴AC=BC=4,

∴OC= ，

∴CE3=5-3=2.

∵ ，h为E到AB的距离，

∴h=2.

∴符合题意的有3个点.

故答案为：C.

【分析】由△ABE的面积为8且AB=8，可求得点E到AB的距离；只要圆上的点到直线AB的距离为2即符合题意.

4.【答案】B  

【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故①正确；

②平分弦的直径平分弦所对的弧，反例：直径也是弦，当两条直径互相平分，但不一定平分一条直径所对应的弧，故②错误；

③垂直于弦的直线必过圆心，不一定，故③错误；

④垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故④正确.

故答案为：B.

【分析】①是定理，需要理解和熟记；②平分“弦”，弦有规定：不是直径；③弦有无数条直线与它垂直，并不一定过圆心；④是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，中的一部分，需要理解和熟记.

5.【答案】A  

【解析】【解答】解：过C作CF⊥AB于F，

∵CF⊥AB，CF过圆心C，

∴AE=2AF，

由勾股定理得：AB=

由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，

6×8=10CF，

∴CF=， 

在△AFC中,由勾股定理得：AF=

∴AE==2AF=

∴BE=AB-AE=

故答案为A【分析】过C作CF⊥AB于F，根据垂径定理得出AE=2AF，根据勾股定理算出AB的长，根据面积法算出CF的长，再根据勾股定理算出AF的长，进而得出答案。

6.【答案】D  

【解析】【解答】∵∠DOB=60°，∴∠BCE=30°．

在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30°，∴BC=4，CE= ．

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE= ．

故答案为：D．

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BCE=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BC=4，然后利用勾股定理算出CE的长，根据垂径定理即可得出CD的长。

7.【答案】C  

【解析】【解答】过A作AD⊥BC，

由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= = ．故答案为：C．

【分析】过A作AD⊥BC，根据圆的轴对称性及等腰三角形的轴对称性得出AD必过点O，连接OB，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD=AD=3，进而得出OD的长，然后根据勾股定理即可算出OB的长。

8.【答案】B  

【解析】【解答】连接AB，与OC交于点D，如图所示：

∵四边形ACBO为菱形，

∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，

∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，

在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，

∴AD=OAsin60°= ,

则AB=2AD= r.

故答案为：:B.

【分析】连接AB，与OC交于点D，如图所示：根据菱形的性质得出OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△AOC和△BOC都为等边三角形，根据垂径定理得出AD=BD，在Rt△AOD中，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=OAsin60°表示出AD，进而即可得出答案。

9.【答案】D  

【解析】【解答】如图，

由图可知，OA=10，OD=5，

在Rt△OAD中，

∵OA=10，OD=5，AD= = ，

∴tan∠1= ，∴∠1=60°，

同理可得∠2=60°，

∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，

∴∠C=60°，

∴∠E=180°-60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，

故答案为：D．

【分析】弦AB所对的圆周角的度数，可能是优弧AB所对的度数，也可能是劣弧AB所对的度数，因此分情况讨论：利用垂径定理及勾股定理求出AD的长，再利用锐角三角函数的定义求出∠1的度数，就可得出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理及圆内接四边形的性质，可求出答案。

10.【答案】D  

【解析】【解答】解：∵∠ABC=20°,

∴∠AOC=40°,

又∵OC⊥AB，

∴OC平分∠AOB，

∴∠AOB=2∠AOC=80°.

故答案为：D.

【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得∠AOC度数，再由垂径定理得OC平分∠AOB，由角平分线定义得∠AOB=2∠AOC.

11.【答案】C  

【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，

∴ ，

∴∠E= ∠BOC=22.5°，

∴∠BOD=45°，

∴△ODB是等腰直角三角形，

∵AB=4，

∴DB=OD=2，

则半径OB等于： ．

故答案为：C．

【分析】利用垂径定理可得出弧AC=弧BC、DB的长，由∠E=22.5°，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，可证得△ODB是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。

12.【答案】C  

【解析】【解答】解：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD

∴CE=CD=×6=3

设⊙O的半径为xcm

则OC=xcm，OE=OB−BE=x−1

在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2

∴x2=32+(x−1)2

解得：x=5

∴⊙O的半径为5

故答案为：5

【分析】连接OC，由垂径定理可证得CE=CD，求出CE的长，再利用勾股定理即可得到关于半径的方程，解方程求出就可求出圆的半径。

13.【答案】D  

【解析】【解答】解：连接OB

∵AC⊥BD，OF⊥BC，BD=8

∴BE= BD=4,BF= BC

设圆的半径为r，则OE=r-2

在Rt△BEO中， 

∴ 

解之：r=5

∴EC=OE+OC=3+5=8

在Rt△BEC中，

∴ 

在Rt△OBF中,

故答案为：D

【分析】利用垂径定理求出BE的长，BF= BC，在Rt△BEO中，利用勾股定理求出圆的半径，就可求出EC的长，再在在Rt△BEC中，利用勾股定理求出BF的长，然后在Rt△OBF中,利用勾股定理就可求出答案。

二、解答题

14.【答案】解：连结BE，如图，

∵OD⊥AB，∴AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，

在Rt△ACO中，∵ ，∴ ，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，

∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，

在Rt△CBE中，CE= ．  

【解析】【分析】连结BE，如图，根据垂径定理得出AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出AE,OC的长，根据直径所对的圆周角的直角得出∠ABE=90°，根据三角形的中位线定理得出BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中，利用勾股定理即可算出CE的长。

15.【答案】证明：连结OA、OC，如图，

∵E、F分别为弦AB、CD的中点，

∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，

∵AB=CD，

∴AE=CF，

在Rt△AEO和Rt△COF中，

，

∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），

∴OE=OF．  

【解析】【分析】连结OA、OC，由垂径定理和已知条件可得AE=CF，用斜边直角边定理可证Rt△AEO≌Rt△COF求解。

16.【答案】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，

所以  

设OA=r,

即  

解得  

答：△ABC外接圆的半径为 

【解析】【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由垂径定理可得AD经过圆心O，根据勾股定理可求得AD，在直角三角形BOD中，用勾股定理可求得关于圆的半径的方程，解方程即可求解。

17.【答案】（1）解：∵AD⊥BC， ，

∴ ．

∵AD=8，∴BD=4．

又∵经过圆心O的直线AD⊥BC，

∴BC=2BD=8．

（2）解：连接OC．

设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．

在△COD中，（8﹣r）2+42=r2  ， 

∴r=5，

即⊙O的半径为5．  

【解析】【分析】（1）根据题意，利用锐角三角函数的定义，在Rt△ABD中求出BD的长，再根据经过圆心O的直线AD⊥BC，就可求出BC的长。

（2）连接OC，设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．利用勾股定理建立方程，求解即可求出圆的半径。