一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z= （i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2
2．（5分）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁UB）∩A=（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
4．（5分）在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（5分）如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．3 B． C． D．3
7．（5分）将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（ ）
A．[kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
8．（5分）成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）
A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸
9．（5分）化简=（ ）
A．1 B．2 C． D．﹣1
10．（5分）某名学生默写英语单词“bookkeeper（会计）”，他记得这个单词是由3个“e”，2个“o”，2个“k”，b，p，r各一个组成，2个“o”相邻，3个“e”恰有两个相邻，o，e都不在首位，他按此条件任意写出一个字母组合，则他写对这个单词的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（ ）
A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立
C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若a= ，则（1+ax）5的展开式中x3项的系数为80．
14．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α．
其中正确的命题是 ． （填写所有正确命题的序号）．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为 ．
16．（5分）若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．
18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，PB=20，BC=30，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）当AB的长为多少时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°？请说明理由．
19．（12分）自主招生，是高校选拔录取工作改革的重要环节，通过高考自主招生笔试和面试之后，可以得到相应的高考降分；某高中高一学生共有1000人，其中城填初中毕业生750名（称为“城填生“），农村初中毕业生250人（称为“农村生“）；为了摸清学生是否愿意参加自主招生，以便安排自主招生培训，拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查；
（1）试完成下列2×2联表，并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关．
| 愿意参加 | 不愿意参加 | 合计 | |
| 城填生 | 50 | 25 | |
| 农村生 | 10 | 15 | |
| 合计 |
①对于一道不完全会的题，求“高富帅”得分的均值E（s）；
②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望．
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
20．（12分）已知椭圆Cn：+=n（a＞b＞1，n∈N*），F1，F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且⋅=0；
（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；
（2）P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E，F，直线PF2交椭圆C4于点M，N，设直线PF1的斜率为k1，直线PF2的斜率为k2；
（i）求证：k1k2=﹣
（ii）求|MN|⋅|EF|的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程F（x）=f（x）﹣mx有两个极值点x1，x2（x1＜x2），x0是x1与x2的等差中项；
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：f′（x0）＜0 （ f′（x）为f（x）的导函数）．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z= （i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解：z==，
复数z= （i为虚数单位）的虚部为：﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁UB）∩A=（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，
B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∴CUB=（﹣1，3），
∴（CUB）∩A=（0，3），
故选：D
【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．
3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．
【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
又（）=5，||=2，||=1，
∴+•=22+2×1×cosθ=5，
解得cosθ=，
∴θ=，
∴tanθ=，
即向量与夹角的正切值为．
故选：B．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题目．
4．（5分）在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可．
【解答】解：程序框图对应的不等式组为，
则“恭喜中奖！满足条件为y≥x+，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则正方形的面积S=1×1=1，
D（0，），E（，1），
则△ADE的面积S=××=，
则能输出“恭喜中奖！”的概率为，
故选：A
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据程序框图转化为几何概型是解决本题的关键．
5．（5分）在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，
则圆心坐标为（2，2），半径为，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，
所以BD=2BE=2，
又AC⊥BD，
所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．
故选B
【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
6．（5分）如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．3 B． C． D．3
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；
PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，
∴PB===，
AC===，
BC==，
PC===，
∴PB最长，长度为．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．
7．（5分）将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（ ）
A．[kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．
【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到
g（x）=2sin（2x+2φ﹣）．
∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，
∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1，
∴φ=kπ+，（k∈Z）
∵0＜φ＜，
∴φ=，
∴g（x）=2sin（2x+）．
令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z）
则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，函数图象的平移变换问题，及函数单调区间问题，属于基础题型．
8．（5分）成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）
A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸
【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可．
【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，
由题意知，
解得d=尺．
尺=寸=5寸另寸．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9．（5分）化简=（ ）
A．1 B．2 C． D．﹣1
【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．
【解答】解：===2．
故选：B．
【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
10．（5分）某名学生默写英语单词“bookkeeper（会计）”，他记得这个单词是由3个“e”，2个“o”，2个“k”，b，p，r各一个组成，2个“o”相邻，3个“e”恰有两个相邻，o，e都不在首位，他按此条件任意写出一个字母组合，则他写对这个单词的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由排列组合知识求出基本事件总数n==9600，由此能求出他写对这个单词的概率．
【解答】解：某名学生默写英语单词“bookkeeper（会计）”，他记得这个单词是由3个“e”，2个“o”，2个“k”，b，p，r各一个组成，
2个“o”相邻，3个“e”恰有两个相邻，o，e都不在首位，他按此条件任意写出一个字母组合，
基本事件总数n==9600，
∴他按此条件任意写出一个字母组合，则他写对这个单词的概率为p=．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λμ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则
A（c，），B（c，﹣），P（c，），
因为=λ+μ，
所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），
所以λ+μ=1，λ﹣μ=，
解得：λ=，μ=，
又由λμ=，得：，
解得=，
所以，e=2．
故选：D
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（ ）
A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立
C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值小于0，从而证出结论
【解答】解：设g（x）=
∴g′（x）=，
∵对∀x∈R，总有（2﹣x）f（x）+xf′（x）＜0成立，
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减
当x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴＜0恒成立
∴f（x）＜0恒成立，
故选：B
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若a= 2 ，则（1+ax）5的展开式中x3项的系数为80．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：通项公式Tr+1==arxr，则r=3．
令=80，解得a=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α．
其中正确的命题是 ①④ ． （填写所有正确命题的序号）．
【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，从而m∥α．
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β，知：
在①中，α∥β⇒l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；
在②中，α⊥β⇒l与m相交、平行或异面，故②错误；
在③中，m∥α⇒l与β相交或平行，故③错误；
在④中，l⊥β⇒α∥β⇒m∥α，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为 ．
【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．
【解答】解：∵2bcosC﹣3ccosB=a，
∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=4cosBsinC，
∴tanB=4tanC．
∴tan（B﹣C）===≤．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题，
16．（5分）若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为 （0，] ．
【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：f（x）=x2+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=aex+1的导数为g′（x）=aex，
设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，x12+1），
与曲线C：g（x）=aex+1切于点（x2，aex2+1），
∴2x1=aex2==，
化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，
∵2x1=aex2，且a＞0，∴x1＞0，则2x2=x1+2＞2，即x2＞1，
由2x1=aex2，得a==，
设h（x）=（x＞1），则h′（x）=，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）max=h（2）=，
∴实数a的取值范围为（0，]，
故答案为：（0，]．
【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．
【分析】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列{an•bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2= 即q=
又由a1+2a2=1得：a1=
∴an=（）n…（6分）
（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2
∴cn=（3n﹣2）•（）n
∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）•（）n﹣1+（3n﹣2）•（）n …①
Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）•（）n+（3n﹣2）•（）n+1…②
①﹣②得：
Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）•（）n+1
=1×+3×﹣（3n﹣2）•（）n+1
=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）•（）n+1
Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）•（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）
即：Sn=4﹣…（12分）
【点评】本题考查数列的错位相减法求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．
18．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，PB=20，BC=30，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）当AB的长为多少时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°？请说明理由．
【分析】（1）推导出AB⊥AD，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAD，再由AB∥CD，能证明平面PCD⊥平面PAD．
（2）以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）∵四边形为矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，且PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，
又因为CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（6分）
解：（2）如图，以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A（0，0，0），P（，0，0），B（0，a，0），C（0，a，3），D（0，0，3）
=（﹣，a，3），=（﹣，0，3），
设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则由⊥，⊥得：
﹣•x+ay+3z=0，﹣x+3z=0
∴=（3，0，﹣）
平面PAB的法向量为=（0，0，1）
又面PAB与面PCD所成的二面角为锐二面角，面PAB与面PCD所成的二面角为60°，
∴cos60°==，即：=2，
解得a=1
∴当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°．…（12分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角为60°的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（12分）自主招生，是高校选拔录取工作改革的重要环节，通过高考自主招生笔试和面试之后，可以得到相应的高考降分；某高中高一学生共有1000人，其中城填初中毕业生750名（称为“城填生“），农村初中毕业生250人（称为“农村生“）；为了摸清学生是否愿意参加自主招生，以便安排自主招生培训，拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查；
（1）试完成下列2×2联表，并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关．
| 愿意参加 | 不愿意参加 | 合计 | |
| 城填生 | 50 | 25 | 75 |
| 农村生 | 10 | 15 | 25 |
| 合计 | 60 | 40 | 100 |
①对于一道不完全会的题，求“高富帅”得分的均值E（s）；
②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望．
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，计算K2，对照数表得出结论；
（2）①由S的所有可能取值计算对应的概率值即可；
②计算对应的分布列与期望值即可．
【解答】解：（1）根据题意填写2×2列联表如下：
| 利用时间充分 | 利用时间不充分 | 总计 | |
| 走读生 | 50 | 25 | 75 |
| 住宿生 | 10 | 15 | 25 |
| 总计 | 60 | 40 | 100 |
由于K2＞3.841，所以有95%的把握认为“是否愿意参加自主招生“与生源有关；…（6分）
（2）①S的所有可能取值为6，12，18且P（S=6）=，P（S=12）=，P（S=18）=，
E（S）=6×+12×+18×=10，
即“高富帅”得分的均值10分…（8分）
②设不完全会的2道题的最后得分为X，总得分为Y，则Y=60+X；
X的所有可能取值为12，18，24，30，36；
P（X=12）=×=，
P（X=18）=2××=，
P（X=24）=×+2××=，
P（X=30）=2××=，
P（X=36）=×=，
∴EX=12×+18×+24×+30×+36×=20，
EY=60+EX=80；
∴“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望为80分；
（若考生用其它方法得到正确结果同样赋分）…（12分）
【点评】本题考查了性检验与古典概型的概率与分布列、期望问题，是综合性题目．
20．（12分）已知椭圆Cn：+=n（a＞b＞1，n∈N*），F1，F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且⋅=0；
（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；
（2）P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E，F，直线PF2交椭圆C4于点M，N，设直线PF1的斜率为k1，直线PF2的斜率为k2；
（i）求证：k1k2=﹣
（ii）求|MN|⋅|EF|的取值范围．
【分析】（1）椭圆C4的方程为：=4，即：=1．不妨设c2=a2﹣b2，则F2（2c，0）．由⋅=0，可得⊥．2c=2，==，2b4=a2=b2+1，解出即可得出．
（2）（i）椭圆C2的方程为：+y2=2 即：+=1．椭圆C4的方程为：=1．设P（x0，y0），由P在椭圆C2上，可得y02=（4﹣x02）．再利用斜率计算公式即可证明k1k2为定值．
（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），与椭圆方程联立消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用根与系数的关系可得|EF|=，|MN|．利用（i）的结论代入|EF|⋅|MN|，化简即可证明．
【解答】解：（1）解：椭圆C4的方程为：=4，即：=1．
不妨设c2=a2﹣b2 则F2（2c，0）．
∵⋅=0，∴⊥．
于是2c=2，==，2b4=a2=b2+1，
∴2b4﹣b2﹣1=0，
（2b2+1）（b2﹣1）=0，
∴b2=1，a2=2．
∴椭圆Cn的方程为：+y2=n．
∴e2==，∴e=．
椭圆C1的方程为：+y2=1．
（2）（i）证明：椭圆C2的方程为：+y2=2 即：+=1．
椭圆C4的方程为：+y2=4 即：=1．
∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），
∵P在椭圆C2上，∴=1，即y02=（4﹣x02）．
∴k1k2=•===﹣．
（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），
联立方程组： 消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=．
∴|EF|==．
同理：|MN|=．
∴|EF|⋅|MN|=•=32×=32×=
=16+≤18，
又|EF|⋅|MN|＞0．
∴|EF|⋅|MN|∈（16，18]．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程F（x）=f（x）﹣mx有两个极值点x1，x2（x1＜x2），x0是x1与x2的等差中项；
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：f′（x0）＜0 （ f′（x）为f（x）的导函数）．
【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出a，b的值，ϕmin（x）=ϕ（ln2）=2﹣2ln2
（2）先求导，分离参数，再构造函数，利用导数求出最值，（i）结合图象m∈（2﹣2ln2，+∞），
（ii）由图易知：x1＜ln2＜x2设F（x）=ϕ（x）﹣ϕ（2ln2﹣x） （x＜ln2），再求导，求出函数极值点，再根据等差中项的性质ϕ′（x0）＜0，问题得以证明．
【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a+1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：y﹣e+a﹣1=（e﹣2a）x﹣e+2a，
即：y=（e﹣2a）x+a+1，
由题意：e﹣2a=b，a+1=2，
∴a=1，b=e﹣2
（2）由（1）知：f（x）=ex﹣x2+1，f′（x）=ex﹣2x，
∴F′（x）=f′（x）﹣m=ex﹣2x﹣m，
令ϕ（x）=ex﹣2x，则ϕ′（x）=ex﹣2，由ϕ′（x）＜0得：x＜ln2；
由ϕ′（x）＞0得：x＞ln2；
∴ϕ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；
当x→+∞时，ϕ（x）→+∞，当x→﹣∞时，ϕ（x）→+∞；
ϕ（x）的图象如图所示：
ϕmin（x）=ϕ（ln2）=2﹣2ln2，
（i）若使ϕ（x）=f′（x）=ex﹣2x=m有两个解x1，x2，则应有：m＞2﹣2ln2
∴m∈（2﹣2ln2，+∞），
（ii）由图易知：x1＜ln2＜x2
设F（x）=ϕ（x）﹣ϕ（2ln2﹣x） （x＜ln2），
则F′（x）=ϕ′（x）+ϕ′（2ln2﹣x）=ex﹣2+e2ln2﹣x﹣2=ex+﹣4≥0，
∴F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递增，
∴F（x）＜F（ln2）=0，
即：ϕ（x）﹣ϕ（2ln2﹣x）＜0，
即ϕ（x）＜ϕ（2ln2﹣x），
∵x1∈（﹣∞，ln2），∴ϕ（x1）＜ϕ（2ln2﹣x1），
∵ϕ（x1）=ϕ（x2）=m，∴ϕ（x2）＜ϕ（2ln2﹣x1），
∵ϕ（x）在 （ln2，+∞）上单调递增且x2＞ln2，2ln2﹣x1＞ln2，
∴x2＜2ln2﹣x1，
∴x1+x2＜2ln2，
∴＜ln2，
即x0＜ln2，
∵ϕ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，
∴ϕ′（x0）＜0，
即f′（x0）＜0
【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化能力，运算能力，解决问题的能力，属于难题．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
【分析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．
（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．
【解答】解 （1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…（2分）
由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…（5分）
（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…（6分）
直线l的直角坐标方程为y=x+…（8分）
所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…（10分）
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集．
（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，
而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，
故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}．
（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，
∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，
∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3，
∴﹣2m＜3，
∴m＞﹣．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
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