讲义1有理数的基本概念及分类

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像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫           ，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，     ，     ，      ，…。正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫         。如-6，              ，…。“-6”读作        。

【例1】  下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

-10，1，-0.5，0，36，，15％，-60，，22.8

解：

（               ）一定是正数，（              ）一定是负数。

   0既不是    数，也不是      数，它是正数与负数的分水岭。它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。

【例2】对于“0”的说法正确的有   （   ）

①0是正数与负数的分界；  ②0℃是一个确定的温度；

③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。

 解：

①0是最小的自然数；

②0是整数也是偶数；

③0既非正数也非负数；

④一个数不是正数就是负数；

⑤负数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数． 

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义       ；二是它们都具有数量，而且一定是       量。

【例3】下面问题中：

（1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。    

（2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降3kg，记作-3kg

（3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500元。

（4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m.

（5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m.

表述有错误的是（       ）。

①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作      。

②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约15度电记作         。    

③如果高于海平面100m记作+100m，那么低于海平面36m记作           。

④我校的入学检测中，以60分为标准，若王飞得了85分记作+25分，那么，张生得了45分记作      。

1、味精袋上标有“300±5克”字样，+5表示__________________,—5表示_____________

还说明这袋味精的质量应该是____～____

2、若上升10m记作10m，那么－3m表示      。

3、比海平面低20m的地方，它的高度记作海拔      。

4、在－3，－1，0，－，2002各数中，是正数的有（      ）。

A、0个      B、1个      C、2个      D、3个   

5、下列既不是正数又不是负数的是（     ）。

   A、－1       B、＋3       C、0.12      D、0

6、飞机上升－30米，实际上就是（    ）。

A、上升30米   B、下降30米   C、下降－30米    D、先上升30米，再下降30米。

7、A地海拔高度是－40m，B地比A地高20m ，C地又比B地高30m，试用正数或

负数表示B、C两地的海拔高度。

三、针对练习

1、气温下降－40C,改成使用正数的说法是                             。

2、如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作 +2毫米，那么比标准短2毫米记

作            。

3、下列说法正确的是（     ）

A、“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量。

B、如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米。

C、如果气温下降60C，记作－60C那么+80C的意义就是下降零上80C 

D、若将高1米设为标准0，高.1.20米记作+.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米。

4、指出下列语句的实际意义：

（1）向西走-35m 。

(2)温度下降-3℃ 。

（3）7月份工资上升了-7.5元。

           、           、            统称为整数，         和

           统称为分数，          和             统称为有理数。

注意：

1、如                  能约分成整数的数_____(填“能”或“不能”)算做分数；

2、两个整数的比（如         等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、

无限循环小数（如               等）都是分数；但无限不循环小数（如    等）不是分数；

3、无限不循环小数不是有理数；(无理数)

4、整数中除了正整数和负整数，还有_____.

【例4】下列说法正确的是（  ）

    A．0既不是正数也不是负数，也不是自然数;

    B．任意有限小数可以化为分数，但无限循环小数不能化为分数;

    C．圆周率是无限不循环小数，故不是有理数;

    D．0表示没有，它是正数和负数的分界点

A．1个   B．2个    C．3个    D．4个

2．在有理数中，最小的自然数是______，最小的正整数是________．

3．下列各数：-6，-3.14，-，，0.307，0.2中，有理数有________个．

正数和正有理数有什么区别呢？

注意：正数和正有理数是不同的，例如：就是正数，但不是正有理数；

正数和0统称为              ；0和负数统称为           。

0和正整数统称为             ；0和负整数统称为         。

    A．一个有理数不是正数就是负数;

    B．一个有理数不是整数就是分数;

    C．有理数是指整数、分数、正数、负数和0;

    D．有理数是指正数和负数

2．在有理数中，不存在这样的数（  ）

A．既是整数，又是负数;    

B．既不是正数，也不是负数

C．既是正数，又是负数;    

D．既是分数，又是负数

3．小于5.5的正整数有_______．

4．比负数大的所有有理数中，最小的数是______

把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。

如：所有有理数组成的集合叫有理数集。

所有整数组成的集合叫整数集。

所有正数组成的集合叫正数集。

所有负数组成的集合叫负数集。

所有正整数和零组成的集合叫自然数集。

等等。。

【例5】把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里：

正整数集合：

负分数集合：

正有理数集合：

非正数集合：

，，0，—3，+8，—0.1，+，2005，1.7，25%，，—2008。

正整数集合：｛                     …｝

负整数集合：｛                     …｝

正分数集合：｛                     …｝

负分数集合：｛                     …｝

整数集合：｛                       …｝

分数集合：｛                       …｝

非负整数集合：｛                   …｝

有理数集合：｛                     …｝

一、填空题

1、把下列各数填入相应的大括号里：

， 

正分数集合｛                        …｝；

整数集合｛                          …｝；

非正数集合｛                        …｝；

有理数集合｛                        …｝

无理数集合｛                        …｝

2、把下列各数分别填入相应的大括号内：

自然数集合｛                                              …｝；

整数集合｛                                                …｝；

正分数集合｛                                              …｝；

非正数集合｛                                              …｝；

有理数集合｛                                              …｝；

3、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为整数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为分数；

  ＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为有理数；

  ＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非负数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非正数；

＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非正整数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非负整数；

有限小数和无限循环小数可看作＿＿＿＿＿；无限不循环小数称为＿＿＿＿＿＿。

二、选择题

1、既是分数又是正数的是（     ）

A、+2       B、 －      C、0       D、2.3

2、在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（     ）

A、0        B、1       C、-2        D、-3.5

3、下列不是有理数的是（     ）

A、-3.14     B、0       C、        D、π

4、下列说法正确的是（     ）

A、正数、0、负数统称为有理数        B、分数和整数统称为有理数

C、正有理数、负有理数统称为有理数   D、以上都不对

5、下列说法中，错误的有（     ）

①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为

有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。

A、1个        B、2个         C、3个        D、4个

第一步：画直线定原点原点表示0。取一个适中的位置。

第二步：规定从原点向右（向上）的为正方向那么从原  点向左（向下）则为负方向。比如说温度计就是向上为正，向下为负。

第三步：选择适当的长度为单位长度。根据题意而定。

步骤用九个字代替为 原点 正方向 单位长度

有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：

规定了      、       和       的直线叫数轴．

任何有理数都可以用数轴上＿＿＿的＿＿＿来表示。

思考： 

（1）原点表示什么数？

（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？

（3）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左个单位长度的B点表示什么数？

归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点距离是a 个单位，表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

如果不对，指出错在哪里．

2、如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？表示－a的点在原点的什么位置上呢？

例6

【例7】（1）与原点的距离为2.5个单位的点有　 　个，它们分别表示有理数　 和　     

（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7

单位到达终点，那么终点表示的数是      

(1)数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数＿＿＿

(2)数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示数＿＿＿。

(3) 数轴上距原点2个单位长度的点有＿＿个，它们分别表示数＿＿＿。

2、从数轴上观察，大于-3小于3的整数有＿＿＿个，分别是＿＿＿。

3、下列说法中错误的是（）

A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示

B.在数轴上表示-1的点和表示1的点的距离是1

C.数轴上的原点表示的数是0

D.最大的负整数是-1

1．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（    ）

A．7       B．-3       C．7或-3        D．不能确定

2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（    ）

A．正数      B．负数       C．不是负数      D．不是正数

3．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离都是　  ，但它们分别　     

4．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有　　个，为　 或 　；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖　 　个整数点．

5．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，3