10月全国线性代数自考试题及答案解析

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设矩阵则必有（　　　）

A.PA=B                                    B.P2A=B

C.AP=B                                    D.AP2=B

2.设则方程f(x)=0的全部根为（　　　）

A.-1，0                B.0，1                C.1，2                D.2，3

3.设非齐次线性方程组Ax=b有n个未知数，m个方程，且秩（A）=r，则下列命题正确的是（　　　）

A.当r=m时方程组有解                    B.当r=n时方程组有唯一解

C.当m=n时方程组有唯一解                D.当r4.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（　　　）

A.1                    B.2                    C.3                    D.4

5.若方阵A与对角矩阵D=相似，则A6=（　　　）

A.A                    B.-E                    C.E                    D.6E

6.若向量组（I）：α1，α2,…，αs可由向量组（II）：β1，β2，…，βt线性表示，则（　　　）

A. sC. t7.设A是n阶方阵，且A2=E，则必有A=（　　　）

A.E                    B.-E                    C.A-1                D.A*

8.下列矩阵为正交矩阵的是（　　　）

A.                            B. 

C.                        D.

9.已知矩阵与矩阵相似，则（　　　）

A. x=0,y=0                                B. x=1,y=1

C. x=1,y=0                                D. x=0,y=1

10.二次型f(x1,x2,x3)=是（　　　）

A.正定的                                    B.半正定的

C.负定的                                    D.不定的

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

11.已知3阶行列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余子式依次为5，3，-7，则|A|=__________.

12.设矩阵A=，则A*=__________.

13.向量组α1=（1，2，3，4），α2=（2，3，4，5），α3=（0，0，1，2）的秩为__________.

14.设向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），向量γ满足3α-2γ=5β，则向量γ=__________.

15.已知向量组α1=（1，α，-2），α2=（3，6，-6）线性相关，则α=__________.

16.设A是n阶方阵，x1,x2均为方程组Ax=b的解，且x1≠x2,则|A|=__________.

17. 设齐次线性方程组 有非零解，则k=__________.

18.设A= ，则A的3个特征值为__________.

19.设有线性变换 ，则中的矩阵P=__________.

20. 二次型f(x1,x2)= x1x2的负惯性指数是__________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

21.设矩阵A=，求（1）A2；（2）A6.

22.计算行列式

23.求矩阵A=的秩.

24.设矩阵X满足矩阵方程

求X.

25.λ取何值时，线性方程组 有解？在有解时求出通解.

26. 设矩阵A=有特征值1，相应的特征向量为求a, b.

27.用施密特正交化方法，化线性无关向量组α1=，α2= ，α3=为正交向量组.

28.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)= x1x2+ x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

29.设A为实2阶方阵，且|A|<0.证明：A与对角矩阵相似.

30.设矩阵A=和B= 的行向量依次为α1，α2和β1，β2.

证明向量组{α1，α2}与向量组{β1，β2}等价.