2021年1月广东省一般高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析

数学试卷（B卷）

一、选择题：本大题共15小题. 每题4分，总分值60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.

1、已知集合，，那么（      ）

.      .      .     .

2、对任意的正实数，以劣等式不成立的是（      ）

.      .      .     .

3、已知函数，设，那么（      ）

.      .      .     .

4、设是虚数单位，是实数，假设复数的虚部是2，那么（      ）

.      .      .     .

5、设实数为常数，那么函数存在零点的充分必要条件是（      ）

.      .      .     .

6、已知向量，，那么以下结论正确的选项是（      ）

.      .      .     .

7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方式，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，那么应选取的男、女生人数别离是（      ）

.      .      .     .

8、如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，那么该几何体的体积为（      ）

.      .      .     .

9、假设实数知足，那么的最小值为（      ）

.      .      .     .

10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，那么以劣等式正确的选项是（      ）

.          .     

.     .

11、设的内角的对边别离为，假设，那么（      ）

.      .      .     .

12、函数，那么的最大值和最小正周期别离为（      ）

.      .      .     .

13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个核心，假设，那么（      ）

.      .      .     .

14、设函数是概念在上的减函数，且为奇函数，假设，，那么以下结论不正确的选项是（      ）

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15、已知数列的前项和，那么（      ）

.      .      .     .

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分.

16、双曲线的离心率为            .

17、若，且，那么            .

18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机掏出一支笔，利用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机掏出一支笔利用，那么两次利用的都是黑色笔的概率为            .

19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是            .

三、解答题：本大题共2小题. 每题12分，总分值24分. 解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤.

20、假设等差数列知足，且.

（1）求的通项公式；

（2）设数列知足，，求数列的前项和.

21、如下图，在三棱锥中，，，为的中点，垂直平分，且别离交于点.

（1）证明：；

（2）证明：.

2021年1月广东省一般高中学业水平考试

数学试卷（B卷）答案解析

一、选择题：本大题共15小题. 每题4分，总分值60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.

1、B  解析：，应选B.

2、B  解析：关于B项，令，那么，而，显然不成立，应选B.

3、C  解析：  ，应选C.

4、D  解析：  ，应选D.

5、C  解析：由已知可得，，应选C.

6、B  解析：关于A项，，错误；

关于B项，，，那么，正确；

关于C项，，错误；

关于D项，，错误. 应选B.

7、A  解析：抽样比为，那么应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数为，应选A.

8、C  解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，那么体积为，应选C.

9、D  解析：（快速验证法）交点为，那么别离为，因此的最小值为，应选D. 

10、D  解析：关于A项，，错误；

关于B项，，错误；

关于C项，，错误；

关于D项，，正确. 应选D.

11、A  解析：由余弦定理，得，又  ，应选A.

12、A  解析：，最小正周期为，应选A.  

13、B  解析： 

，应选B.

14、D  解析：关于A项，为上的奇函数 ，正确；

关于B项，为上的减函数 ，正确；

关于C项，

，正确；

关于D项，  

，错误. 应选D.

15、C  解析：当时，；当时，适合上式. 是首项为，公比为的等比数列  ，应选C.

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分.

16、  解析：由已知，得  

双曲线的离心率为.

17、  解析：，且 

.

18、  解析：.

19、  解析：联立得

那么圆心到直线的距离为，故圆的半径为

圆的标准方程为.

三、解答题：本大题共2小题. 每题12分，总分值24分. 解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤.

20、解：（1）设等差数列的公差为.

  数列的通项公式为.

（2）由（1）知， 

 又适合上式  

 数列是首项为，公差为的等差数列.

21、解：（1）证明：垂直平分  为的中点

又为的中点  为的中位线  

又  

（2）证明：连接

，为的中点  

垂直平分  

又，  

又  

又，  

又