三角形全等之倍长中线(习题及答案)

例题示范

例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．

求证：AE平分∠BAC．

【思路分析】

读题标注：

见中线，要倍长，倍长之后证全等．

结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：

①考虑倍长FE，如图所示：       ②考虑倍长AE，如图所示：

  （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）

倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．

【过程书写】

证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．

在△DEF和△CEG中，

∴△DEF≌△CEG（SAS）

∴DF=CG，∠DFE=∠G

∵DF=AC

∴CG=AC

∴∠G=∠CAE

∴∠DFE=∠CAE

∵DF∥AB

∴∠DFE=∠BAE

∴∠BAE=∠CAE

∴AE平分∠BAC

巩固练习

1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．

2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．

求证：AB=EF．

3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．

求证：EF=2AD．

4.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．

求证：BF=CG．

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．

思考小结

1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：AB=AC．

比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．

方法1：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴AC=BE，∠E=∠2

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

方法2：

如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E

∵BE∥AC

∴∠E=∠2

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（AAS）

∴BE=AC

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

相同点：

两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．

不同点：

倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．

2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CDAB．

【参】

巩固练习

1.2

2.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）

3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）

4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）

5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）

思考小结

1.倍长中线    SAS    AAS    角

2.证明略