2013-2014学年惠州市高二文科数学(上)期末考试试题及答案

高二数学（文科）试题

说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。

2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。

3、考试结束后，考生将答题卷交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1、椭圆的焦距等于（    ）

A、20       B、16        C、12      D、8

2、某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这

种抽样方法是（    ）

A、抽签法       B、随机数表法      C、系统抽样法     D、分层抽样法

3、已知函数，则（    ）．

A、         B、        C、        D、 

4、已知点是抛物线的焦点，点在该抛物线上，且点的横坐标是，则=（    ）．

A、2             B、3            C、4             D、5

5、已知事件与事件发生的概率分别为、，有下列命题：

①若为必然事件，则．    ②若与互斥，则．

③若与互斥，则．其中真命题有（    ）个

A、0       B、1         C、2           D、3

6、“”是“方程表示的曲线为抛物线”的（    ）条件。

A、充分不必要        B、必要不充分        C、充要         D、既不充分也不必要

7．命题“”的否定是(    )．

A．        B． 

C．       D． 

8、函数的单调递增区间为(    ) ．

A、     B、

C、     D、

9、执行右边的程序框图，如果输入，那么输出(    )．

A、2       B、3       C、4      D、5

10、已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若

的最大值为8，则的值是（    ）．

A、      B、      C、     D、

二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答卷相应位置上．)

11、双曲线的渐近线方程为                       ．

12、样本，，，，的方差为                       ．

13、某城市近10年居民的年收入与支出之间的关系大致符合（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是         亿元．

14、函数在处的切线方程是                      ． 

三、解答题：(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15、（满分12分）

某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．

（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?

（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．

16、（满分12分）

已知，，点的坐标为．

（1）求当时，点满足的概率；

（2）求当时，点满足的概率．

17、（满分14分）

设命题：实数满足，其中；命题：实数满足；

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18、（满分14分）

已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆的交点为，求弦长．

19、（满分14分）

已知图象过点，且在处的切线方程是．

（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值．

20、（满分14分）

已知动直线与椭圆交于、两个不同的点，且△的面积=，其中为坐标原点．

（1）证明和均为定值；

（2）设线段的中点为，求的最大值；

（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由．

惠州市2013-2014学年第一学期期末考试

高二数学（文科）试题答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

2、【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C．

3、【解析】，则，∴选B．

4、【解析】抛物线知，，∴选B．

5、【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C．

6、【解析】当且仅当时，方程表示的曲线为抛物线，∴选A．

7、【解析】“”的否定是“”，∴选C．

8、【解析】， 

，单调递增区间为，   ∴选A．

9、【解析】，进入循环后各参数对应值变化如下表：

10、【解析】∵|AF1|+|AF2|=6，|BF1|+|BF2|=6，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=12；

若|AB|最小时，|BF2|+|AF2|的最大，又当AB⊥x轴时，|AB|最小，

此时|AB|=，故．∴选D．

二、填空题：(本大题共4题，每小题5分，共20分．

11、     12、2     13、18.2      14、     

11、【解析】的渐近线方程为．

12、【解析】．

13、【解析】

14、【解析】，在处的切线斜率

又∵，切点为，

所以切线方程为化简得

三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15、（满分12分）

解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为………………………2分

∴年龄大于40岁的应该抽取人.     ……………………………4分    

(2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3

年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分

从中任取2名，所有可能的基本事件为：

，共10种，…8分

其中恰有1人年龄大于40岁的事件有

，共6种，………………………………10分

∴恰有1人年龄大于40岁的概率.…………………………………12分

16、（满分12分）

解：（1）点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），……………（1分）

满足的点的区域为以为圆心，

2为半径的圆面（含边界）．              ……………………（3分）

所求的概率．      …………………………（5分）

（2）满足，且，的整点有25个 …………（8分）

满足，且的整点有6个，……………（11分）

所求的概率．              ………………………………（12分）

17、（满分14分）

解　(1)由得.……………………………1分

又，所以，………2分

当时，，即为真命题时，实数的取值范围是……4分

由得.

所以为真时实数的取值范围是.…………………………………6分

若为真，则，所以实数的取值范围是．……………8分

(2) 设，…………………………………10分

是的充分不必要条件，则…………………………………………12分

所以，所以实数a的取值范围是．………14分

18、（满分12分）

解：（1）又由直线与圆相切得，…2分

由得，………………………………… 4分

∴椭圆方程为…………………………………………………6分

（2）…………8分

，设交点坐标分别为………9分

则…………………………………………………11分

从而

所以弦长…………………………………………………………14分

19、（满分14分）

解：（1），………………………………………………1分

，∴，∴…………3分

又∵切点为，∴………………………5分

联立可得………………………………………………6分

∴………………………………………………7分

（2），………………………………8分

令，

令或，

令，………………………………10分

由上表知，在区间上，当时， 

当时， ………………14分

20、（满分14分）

解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于轴对称，所以

因为在椭圆上，因此    ①

又因为所以    ②

由①、②得此时…………… 2分

   当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知，将其代入，得，

其中即…（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为

所以

又整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。……………………… 5分

   （2）解法一：

   （1）当直线的斜率存在时，由（I）知

因此……………………………………… 6分

   （2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.

综合（1）（2）得的最大值为………………………………… 9分

解法二：因为

所以

即当且仅当时等号成立。

因此的最大值为………………………………………………… 9分

（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得… 10分

证明：假设存在满足，

由（I）得 

解得

所以只能从中选取，只能从中选取，

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. ………………… 14分