高等数学第二讲函数的极限

一、函数极限的定义

a)六种形式的函数极限

b)双侧极限与单侧极限

例1．设在处的左右有限均存在，则下列正确的有：

c)函数极限的基本性质：

i.极限的唯一性；局部保号性；局部有界性

ii.函数极限与数列极限的关系：海涅原则

d)极限的运算法则

例2．证明下列极限不存在： 

二、无穷小与无穷大

a)无穷小的概念

b)无穷不与函数极限的关系

c)无穷小的性质

d)无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系

例3．当时，是无穷大？是有界量？；当时，是无穷大？是无界量？当时，与为等价无穷小，则。

e)无穷小的比较

i.高阶无穷小与低阶无穷小；同阶无穷小与等价无穷小

ii.等阶无穷小的替换原则：未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价替换，而不会改变原式的极限。

常见的几个等价无穷小：

当时， 

例4．，则

例5．证明与为时的同阶无穷小

例6．求； 

；； 

三、函数的连续与间断

a)函数的连续性

b)函数间断点的分类

c)连续函数的运算性质；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性

例7．与都是连续函数，则，。

例8．设，试讨论此函数的连续性。

例9．求的间断点及其类型。

练习：求下列函数的极限

1.

2.

3.

4.

5.

6.在处连续，则

7.

8.，求

9.

10.，证明的极限存在。注：运用单调有界数列必有极限与不等式

四、闭区间上连续函数的性质

a)闭区间上连续函数必有最大与最小值[有界性]；b)  介值定理[零点定理