2020-2021学年陕西省高考数学一模试卷(理科)含解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（　　）

A．[﹣3，﹣1]    B．（﹣3，﹣1]    C．（﹣3，﹣1）    D．[﹣1，2]

2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（　　）

A．    B．2    C．4    D．8

3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：

A．＞0，＞0    B．＞0，＜0    C．＜0，＞0    D．＜0，＜0

4．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（　　）

A．9    B．3    C．    D．3

5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（　　）

A．±512    B．512    C．±1024    D．1024

6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

7．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（　　）

A．x+y﹣2=0    B．x+y﹣4=0    C． x+y﹣2=0    D．x+y﹣6=0

9．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（　　）

A．[﹣π+，﹣ +]（k∈Z）    B．[﹣+， +]（k∈Z）

C．[﹣π+2kπ，﹣ +2kπ]（k∈Z）    D．[﹣+2kπ，﹣ +2kπ]（k∈Z）

11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．2    D．

12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．[，]    B．[，]    C．[，]    D．[，]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为　　（用数字填写答案）

14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为　　．

15．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S=　　．

16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　　．

三、解答题

17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC﹣ccosB．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．

18．（12分）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图．

男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）：

（Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率；

（Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关．

19．（12分）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．

（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．

（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．

四、选修4-4：极坐标与参数方程

22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

选修4-5：不等式选讲

23．（10分）已知函数f（x）=|3x﹣4|．

（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；

（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．

 参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（　　）

A．[﹣3，﹣1]    B．（﹣3，﹣1]    C．（﹣3，﹣1）    D．[﹣1，2]

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可．

【解答】解：A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}=（﹣3，2），B={x|y=}=（﹣1，+∞），

∴∁RB=（﹣∞，﹣1]

∴A∩（∁RB）=（﹣3，﹣1]．

故选：B．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（　　）

A．    B．2    C．4    D．8

【考点】复数求模；复数代数形式的混合运算．

【分析】利用复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．

【解答】解：z（+3i）=16i（i为虚数单位），∴z（+3i）（﹣3i）=16i（﹣3i），∴16z=16i（﹣3i），∴z=3+i．

则复数|z|==4．

故选：C．

【点评】本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：

A．＞0，＞0    B．＞0，＜0    C．＜0，＞0    D．＜0，＜0

【考点】线性回归方程．

【分析】利用公式求出，，即可得出结论．

【解答】解：样本平均数=0.2， =﹣1.7，

∴==＞0，

∴=﹣1.7﹣×0.2＜0，

故选：C．

【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．

4．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（　　）

A．9    B．3    C．    D．3

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模．

【解答】既然：向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），

2+=（1，x﹣8），

（2+）⊥，

可得：1+8﹣x=0，解得x=9．

则||==3．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．

5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（　　）

A．±512    B．512    C．±1024    D．1024

【考点】等比数列的性质．

【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．

【解答】解：log2a2+log2a8=2，

可得log2（a2a8）=2，

可得：a2a8=4，则a5=±2，

等比数列{an}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．

故选：A．

【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．

【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；

S=1，i=1，S＜30；

S=2，i=2，S＜30；

S=4，i=3，S＜30；

S=8，i=4，S＜30；

S=16，i=5，S＜30；

S=32，i=6，S≥30；

终止循环，输出i=6．

故选：B

【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．

7．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．

【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．

故选：C．

【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．

8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（　　）

A．x+y﹣2=0    B．x+y﹣4=0    C． x+y﹣2=0    D．x+y﹣6=0

【考点】圆的切线方程．

【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．

【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．

设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，

∴直线l的方程为x+y﹣4=0，

故选B．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

9．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．

【解答】解：∵f（x）=（﹣1）•sinx，

∴f（﹣x）=（﹣1）•sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）•sinx=f（x），

∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，

当x=2时，f（2）=（﹣1）•sin2＜0，故排除B，

故选：A

【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．

10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（　　）

A．[﹣π+，﹣ +]（k∈Z）    B．[﹣+， +]（k∈Z）

C．[﹣π+2kπ，﹣ +2kπ]（k∈Z）    D．[﹣+2kπ，﹣ +2kπ]（k∈Z）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的单调性．

【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的增区间．

【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0）=2sin（ωx﹣），

若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，

则为函数f（x）的周期，即=k•||，∴ω=±4k，k∈Z．

记ω的最大值为ω0，则ω0=﹣4，

函数g（x）=cos（ω0x﹣）=cos（﹣4x﹣）=cos（4k+）．

令2kπ﹣π≤4x+≤2kπ，求得﹣≤x≤﹣，

故函数g（x）的增区间为[﹣，﹣]，k∈Z．

故选：A．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题．

11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．2    D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，

对称点为F'（m，n），

即有=﹣，

且•n=•，

解得m=，n=﹣，

将F'（，﹣），即（，﹣），

代入双曲线的方程可得﹣=1，

化简可得﹣4=1，即有e2=5，

解得e=．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．[，]    B．[，]    C．[，]    D．[，]

【考点】函数恒成立问题．

【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．

【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，

∴函数f（x）为偶函数，

∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，

即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．

∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，

即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，

即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．

令g（x）=，则 g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．

令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．

综上所述，m∈[，]．

故选D．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为　﹣260　（用数字填写答案）

【考点】二项式定理的应用．

【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求．

【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，

所以x3的系数为﹣260；

故答案为：﹣260．

【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能．

14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为　[]　．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图：

A（2，0），

联立，解得B（5，6），

z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，

∵，

∴z=的取值范围为[]．

故答案为：[]．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S=　　．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），可得[n（n+1）Sn﹣1]（Sn+1）=0，Sn＞0．可得Sn==﹣．利用“裂项求和”方法即可得出．

【解答】解：∵n（n+1）Sn2+（n2+n﹣1）Sn﹣1=0（n∈N*），

∴[n（n+1）Sn﹣1]（Sn+1）=0，Sn＞0．

∴n（n+1）Sn﹣1=0，

∴Sn==﹣．

∴S1+S2+…+S=+…+=．

故答案为：．

【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　13π　．

【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．

【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，

【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，

∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，

在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，

∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．

∵∠EDC=90°，∴，

又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，

三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，

故答案为：13π．

【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．

三、解答题

17．（12分）（•内蒙古模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC﹣ccosB．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，进而变形可得1=sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣），即可得B﹣的值，计算可得B的值，即可得答案；

（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC=acsinB=b2sinB计算可得△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若c=bsinC﹣ccosB，

由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，

又由sinC≠0，则有1=sinC﹣cosB，

即1=2sin（B﹣），

则有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍）

故B=；

（Ⅱ）已知b=2，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，

又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，

则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，

所以△ABC的周长l=a+b+c=2+4=6，

面积S△ABC=acsinB=b2sinB=3．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值．

18．（12分）（•汉中一模）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图．

男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）：

（Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率；

（Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关．

【考点】性检验．

【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；

（Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率；

（Ⅲ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关．

【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为0.1+0.2+0.25=0.55，

∴中位数位于第三组，设中位数为a，则=，

∴a=38，

∴估计该校女生年阅读量的中位数为38；

（Ⅱ）利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，从这6人中随机抽取2人，共有方法=15种，各组分别为4人，2人，[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率1﹣=；

（Ⅲ）

∴没有99%的把握认为月底丰富与性别有关．

【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查性检验知识的运用，属于中档题．

19．（12分）（•内蒙古模拟）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．

（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）取EB的中点M，连接PM，QM，证明：平面PMQ∥平面BCD，即可证明PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取EB的中点M，连接PM，QM，

∵P为DE的中点，

∴PM∥BD，

∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴PM∥平面BCD，

同理MQ∥平面BCD，

∵PM∩MQ=M，

∴平面PMQ∥平面BCD，

∵PQ⊂平面PQM，

∴PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=，建立坐标系，则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣），A（2，﹣1，），

∴=（﹣2，﹣2，），=（0，2，﹣），=（0，1，0），

设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，，），

同理平面DBE的一个法向量为=（，0，），

∴cos＜，＞==，

∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．

20．（12分）（•内蒙古模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．

（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R， =．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，

将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，

∴椭圆的标准方程为：，

（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，

由a2=2b2，椭圆方程为：，

将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，

解得：xP=﹣，则丨BP丨=×，

由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=•，

由=．，则2×=•，

整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，

设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，

∴函数f（x）存在零点，

∴存在k∈R， =．

【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）（•内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，

记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，

若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，

此时函数f（x）在（0，+∞）递减，

当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，

显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，

在（0，）和（，+∞）递减；

综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，

在（0，）和（，+∞）递减，

a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；

（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，

又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣，

令x=1+（n≥2），

则ln（1+）＜（1+）﹣=

=（+）＜=（﹣），

从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）

＜（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）

=（1+﹣﹣）＜（1+）=，

则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜，

可得（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．

四、选修4-4：极坐标与参数方程

22．（10分）（•内蒙古模拟）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．

（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．

【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得： +（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．

曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．

（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，

整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，

∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，

∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．

【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

选修4-5：不等式选讲

23．（10分）（•内蒙古模拟）已知函数f（x）=|3x﹣4|．

（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；

（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．

【考点】函数的图象．

【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；

（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，

图象如图所示，

由图象可得，x=，g（x）有最小值﹣；

（Ⅱ）由题意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3），

∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，

∴λ≥15．

【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．