第6章 线性空间与线性变换 自测题

1. 选择题

(1) 下列集合中, 是的子空间的为(    ), 其中

A.             B. 

C.             D. 

(2) 设是相互正交的n维实向量, 则下列各式中错误的是      (    )

A.        B.;

C.        D. 

(3) 已知全体二阶反对称实矩阵的集合W是线性空间的子空间, 则W的维数为                                                       (    )

A. 4;       B. 3;    C. 2;     D. 1

2. 验证下列集合是的子空间, 并分别求这些子空间的维数和一个基.

(1): 全体三阶实上三角矩阵    (2): 全体三阶实对角矩阵

(3):全体三阶实对称矩阵

3. 设向量组

(1) 求a的值, 使为的基;

(2) 当为的基时, 求在这个基下的坐标

4. 设中的两个基分别为

; 

(1) 求由基到的过渡矩阵;

(2) 已知向量在基下的坐标为, 求在基下的坐标.

5. 设的两个基为

; 

定义线性变换

(1)求由到的过渡矩阵;

(2)求A在基下的矩阵;

(3)求A在基下的矩阵;

(4)已知, 求A(), A(A()).

6. 在中, 定义变换如下:

A(X)=AX-XA

其中X是中任意二阶方阵, A是中一个固定的二阶方阵, 

(1)判定A是中的线性变换;

(2)在中取定一个基

求A在这个基下的矩阵. 

7. 在中求一个单位向量, 使与都正交, 其中

8. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相同, 则.

9. 在中, 

证明: W是的线性子空间, 并求出W的维数和一个基