全概率公式与贝叶斯公式 (1)

一、背景介绍

对于简单的条件概率问题，完全可以利用条件概率的定义及其乘法公式进行求解。而对复杂条件概率问题的求解，就需要进一步的引入全概率公式以及贝叶斯公式了。首先看下面的引例。 

引例 某厂有四个车间生产同一种产品。第一、二、三、四车间的产量分别占总产量的15%，20%30%，35%，次品率分别为5%，4%，3%，2%。从该厂的产品中任取一件，求检好取到次品的概率。 

解：用表示“取到的是第i车间的产品”，B表示“取到的是次品”，则 

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并且两两互不相容，且，即构成完备事件组，于是。 

上例确定P（B）的方法具有普遍意义，把其一般化就得到了我们想要的全概率公式。 

二、全概率公式

定理1（全概率公式）设事件构成完备事件组，且，则对任意事件B，有 

特别地，当n=2时，全概率公式为 

例1 甲、乙、丙三台机床加工同一种零件，零件由甲、乙、丙机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2,甲、乙、丙机床加工的零件为合格品的概率分别为0.9，0.8，0.7。今从全部零件随机抽取一个，求检好为合格品的概率。 

解：设A1={取到的是甲机床加工的零件}；A2={取到的是乙机床加工的零件}；A3={取到的是丙机床加工的零件}；B={取到的是合格品}。显然，构成完备事件组。依题意，有 

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根据全概率公式，得 

三、贝叶斯公式

通过以上的学习我们了解，只要知道了各种原因发生的概率以及在该条件下某事件发生的概率，此事件的无条件概率就可通过全概率公式求得。那么，反过来，同样是在各原因概率已知的前提下，设在随机试验中该事件已发生，各原因发生的条件概率又是多少呢？ 

例2 在引例中，若已知取到的产品为次品，求该次品是第一车间的产品的概率。 

解：我们仍然沿用了例中的符号，所求的概率为 

把这道题的解法一般化，使得到了重要的贝叶斯公式。 

定理2（贝叶斯公式）设事件构成完备事件组，，则对任意事件B，有 

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例3 甲、乙、丙三名射击运动员在一次发射中击中靶子的概率分别为。他们同时打一发子弹，结果有两弹击中靶子。求运动员丙脱靶的概率。 

解：设事件A表示恰有两发子弹击中靶子事件B1，B2，B3分别表示甲、乙、丙脱靶，则 

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按贝叶斯公式，得