定义域和值域的求法(经典)

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 

（1）分母不为零 

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。 

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。

( 6 )中x

二、抽象函数的定义域

1.已知的定义域，求复合函数的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。

2.已知复合函数的定义域，求的定义域

方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

3.已知复合函数的定义域，求的定义域

     结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。

4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

函数值域求法四种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

  例1. 求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

  例2. 求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

  2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

  例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

  3. 判别式法

  例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

  例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

  例6. 求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

当时，

故函数的值域为

课堂练习

一、求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴        ⑵        

⑶          

2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _   _；函数的定义域为________； 

3、若函数的定义域为，则函数的定义域是          ；函数的定义域为            。

4、知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。

5、若函数=  的定义域为,则实数的取值范围是    （    ）

A、(－∞,+∞)     B、(0,    C、(,+∞)     D、[0, 

6、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）

(A) (B) (C) 　(D) 

7.已知函数的定义域为，求的定义域．

8.若函数的定义域为，则的定义域为            。

9.已知函数的定义域为，求函数的定义域．

10.已知函数的定义域为，则的定义域为________。

11. 函数定义域是，则的定义域是（ ）

A. B. C. D.     

12.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域. 

13.若的定义域为，求的定义域．

14.已知函数的定义域是，求的定义域。

15.若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域．

二、求函数的值域

1.函数的值域是_________

2.的值域是________ 

 3.的值域是__________

4.二次函数的值域为       。

5.函数的值域是         15函数的值域是          

6.函数的值域是（     ）

A       B    C        D  

7.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是(    )

A.(0,      B.［,4］      C.［,3］      D.［,+∞

8.

9.如何求函数的值域？呢？

课后小结：

（1）求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件。

（2）函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视。

（3）定义域的求法:见上面讲义。

（4）求函数值域时要先观察函数的结构特征，然后选好所适合的方法来解题，尤其要注意根据定义域来求值域，不要忽略定义域的范围。

家庭作业

1. 设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

2、已知函数的定义域为，则的定义域为__________

3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

4、4.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求y=f(定义域。

5

.55、若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 

6.求下列函数的值域