（考试时间：90分钟，满分100分）
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 总分 |
| 得分 |
1．下列根式中，与为同类二次根式的是………………………………………..（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
【专题】计算题．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是…………………………………………（ ）
（A）； （B）； （C）； （D） ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．已知一元二次方程：①，②. 下列说法正确的是（ ）
（A）方程①②都有实数根；
（B）方程①有实数根，方程②没有实数根；
（C）方程①没有实数根，方程②有实数根；
（D）方程①②都没有实数根 .
【专题】常规题型．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：①△=9-4×1×3=9-12=-3，故①没有实数根；
②△=9+12=21，故②有实数根
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4. 某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件
售价为578元，设每次降价的百分率为x，依题意可列出关于x的方程………..（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
【分析】等量关系为：原价×（1-降价的百分率）2=现在的售价，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的价格为800×（1-x），
第二次降价后的价格为800（1-x）2，
可列方程为800（1-x）2=578．
故选：B．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到现在售价的等量关系是解决本题的关键．
5. 下列命题中，真命题是………………………………………………………………..（ ）
（A）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（B）两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
（C）直角三角形的两个锐角互余；
（D）三角形的一个外角等于两个内角的和．
【专题】三角形．
【分析】A、根据平行线的性质进行判断；
B、根据三角形全等的判定进行判断；
C、根据三角形的内角和为180°，可知直角三角形的两个锐角互余；
D、根据三角形的外角与内角和关系及三角形的内角和定理可做判断．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以A选项错误，是假命题；
B、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以B选项错误，是假命题；
C、直角三角形的两个锐角互余，所以C选项正确，是真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以D选项错误，是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题可分为真命题和假命题．
6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H，且HD=DC，那么下列结论中，正确的是………………………………………………………………..（ ）
（A）△ADC≌△BDH；
（B）HE=EC；
（C）AH=BD；
（D）△AHE≌△BHD .
（第6题图）
【分析】首先根据垂直可得∠ADB=∠ADC=90°，然后再证明∠HAE=∠HBD，然后再利用AAS证明△ADC≌△BDH．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠AHE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠HAE=∠HBD，
在△ADC和△BDH中，
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7. 化简：_______ .
【专题】计算题．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质可以把式子化简求值．
8. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是___________ .
【专题】常规题型．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：3x-1≥0，
解得：
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
9. 计算：___________ .
【分析】根据二次根式的乘法法则计算．
10. 写出的一个有理化因式是____________ .
【专题】计算题；实数．
【分析】利用有理化因式定义判断即可．
【解答】
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11. 不等式：的解集是_________________ .
【专题】常规题型．
【分析】系数化为1求得即可．
【解答】
【点评】主要考查解一元一次不等式，并进行分母有理化；注意：不等式两边同乘以负数，不等号方向改变．
12. 方程的解为___________________．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2=x，
移项得：x2-x=0，
分解因式得：x（x-1）=0，
可得x=0或x-1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
13. 在实数范围内因式分解：_______________________．
【专题】计算题．
14. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围
是_______________．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2-x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足△=b2-4ac＞0，即可求得．
【解答】解：x的一元二次方程x2-x+a=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=1-4a＞0，
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15. 如果关于的一元二次方程的一个根是，那么的值为_____.
【专题】方程思想．
【分析】由题意知关于x的一元二次方程（a-1）x2-x+a2-1=0的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程（a-1）x2-x+a2-1=0中即可求出a．
【解答】解：∵0是方程（a-1）x2-x+a2-1=0的一个根，
∴a2-1=0，
∴a=±1，
但a=1时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，
∴a=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查一元二次方程的定义，比较简单，直接把x=0代入方程就可以解决问题，但求出的值一点要注意不能使方程二次项系数为0．
16. 如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF，
要使△ABC≌△DEF成立，请添加一个条件，这个条件可以
是_________________ .
【专题】常规题型．
【分析】根据全等三角形的判定方法可以由SSS证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB=ED．
∵FB=CE，
∴FB+CF=CE+CF，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故答案为AB=DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握SSS证明两个三角形全等，此题难度不大．
17. 将命题“两个全等三角形的面积相等”改写成“如果……，那么……”的形式：
_____________________________________________________________________________ .
【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
【解答】解：将命题“两个全等三角形的面积相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等．
【点评】本题考查了命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，难度适中．
18. 如图，在△ABC中，∠CAB=70°. 在同一平面内，
现将△ABC绕点A旋转，使得点B落在点B’，点C
落在点C’，如果CC’//AB，那么∠BAB’ = ________°.
【专题】常规题型．
【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠AC′C=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=70°，
∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，
∴∠BAB′=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三、解答题：（本大题共4题，第19~22题，每题6分；第23题8分；第24~25题每题10分，满分52分）
19. 计算： .
【专题】常规题型．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】
原式=
. ……
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
20. 用公式法解方程： .
专题】方程与不等式．
【分析】根据公式法可以解答此方程．
【解答】解：∵x2-5x+3=0，
∴
∴ 原方程的根是：
【点评】本题考查解一元二次方程-公式法，解答本题的关键是明确公式法解方程的方法．
21. 用配方法解方程： .
专题】常规题型．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：
∴ ， ∴
∴ 原方程的根是：
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22. 已知：如图，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，点E是AB的中点，联结CE并延长
交BD于点F .
求证：CE = FE .
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等．
【分析】根据平行线的判定可得AC∥BD，根据平行线的性质可得∠A=∠B，根据中点的定义可得AE=BE，根据ASA可得△AEC≌△BEF，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B，
又∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC与△BEF中，
∴△AEC≌△BEF（ASA），
∴CE=FE．
【点评】考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据ASA证明△AEC≌△BEF．
23. 如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形. 已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？
【专题】常规题型．
【分析】设BC=x米，则CD=（180-2x）米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：设BC=x米，则CD=（180-2x）米．
由题意，得：x（180-2x）=4000，
整理，得：x2-90x+2000=0，
解得：x=40或x=50＞40（不符合题意，舍去），
∴180-2x=180-2×40=100＜120（符合题意）．
答：BC=40米，CD=100米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示CD的长，然后根据长方形的面积公式列出方程．
24．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．
【专题】阅读型．
【分析】（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
【点评】本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC，点E是BC边上的一点，且AE=DC．
（1）求证：△ABC≌△EAD ；
（2）如果AB⊥AC，求证：∠BAE= 2∠ACB．
【专题】图形的全等．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定定理AAS推知△ABC≌△CDA，结合该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）过点A作AH⊥BC于H．由等腰三角形的性质，三角形内角和定理证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
又∠B=∠ADC，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS）
∴BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD．
又 AE=DC，AB=DC，
∴AB=AE．
∴∠B=∠AEB．
又∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠B=∠EAD．
在△ABC与△EAD中，
（2）过点A作AH⊥BC于H．
∵AB=AE，AH⊥BC．
∴∠BAE=2∠BAH．
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
又 AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
∴∠B+∠ACB=90°．
同理：∠B+∠BAH=90°．
∴∠BAH=∠ACB．
∴∠BAE=2∠ACB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和；熟练掌握有关定理进行推理论证是解决问题的关键．
第一学期八年级数学学科期中考试卷
参
一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（B）； 2．（D）； 3．（C）； 4．（B）； 5.（C）； 6.（A）.
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．； 8．； 9．； 10. ； 11. ；
12．，； 13．； 14．； 15．；
16．（或等）；
17． 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等； 18．40°.
三、解答题（本大题共7题，满分52分）
19．（本题满分6分）
解： 原式= …………………………（2分+2分）
…………………………………（1分）
. ………………………………………（1分）
20．（本题满分6分）
解：
…………………………（2分）
∴ …………（2分）
∴ 原方程的根是： ……………（2分）
21．（本题满分6分）
解： ……………………………………………（1分）
……………………………………………（1分）
…………………………（1分）
∴ ， ∴ …………………………（2分）
∴ 原方程的根是：…………………（1分）
22．（本题满分6分）
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD .
∴ AC//BD ………………………（1分）
∴ ∠A=∠B ……………………（1分）
又 点E是AB的中点，∴AE=BE ………（1分）
又 ∠AEC=∠BEF ………………（1分）
∴ △AEC≌△BEF ………………（1分）
∴ CE=FE . ………………（1分）
【说明：其他解法，酌情给分】
23．（本题满分8分）
解：设米，则米 ……（1分）
由题意，得： ……（3分）
整理，得：
解得： 或（不符合题意，舍去）……………（2分）
∴ （符合题意）…………（1分）
答：米，米 …………………………………………（1分）
24．（本题满分10分）
解：（1），； ……………………（2分+2分）
（2）由，
得：. ……………………（1分）
∴ . ……………………（1分）
由题意，得： ， ……………………（2分）
解得： . ………………………………………（1分）
∴ . ……………………（1分）
25．（本题满分10分）
证明：（1）∵ AB//CD，
∴ ∠BAC=∠DCA . ……（1分）
又 ∠B=∠ADC，AC=CA，
∴ △ABC≌△CDA . ……（1分）
∴ BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD . ……（1分）
又 AE=DC，AB=DC，
∴ AB=AE . ……（1分）
∴ ∠B=∠AEB .
又 ∠ACB=∠CAD，∴ AD//BC，∴ ∠AEB=∠EAD .
∴ ∠B=∠EAD . ……（1分）
在△ABC与△EAD中，
∴ △ABC≌△EAD . ……（1分）
【说明：其他解法，酌情给分】
（2）过点A作AH⊥BC于H . ……（1分）
∵ AB=AE，AH⊥BC .
∴ ∠BAE=2∠BAH ……（1分）
在△ABC中，
∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
又 AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.
∴ ∠B+∠ACB=90°.
同理：∠B+∠BAH=90°.
∴ ∠BAH=∠ACB . ……（1分）
∴ ∠BAE=2∠ACB . ……（1分）
【说明：其他解法，酌情给分】
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