2020-2021学年山东省菏泽市中考数学一模试卷及答案解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在相应的答题栏内．

1．在﹣2，﹣3，0.1四个数中，最小的实数是（）

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1

2．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线PR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）

A．60°B．80°C．100°D．120°

3．下列运算正确的是（）

A．5ab﹣ab=4 B．+=C．a6÷a2=a4D．（a2b）3=a5b3

4．五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据．若这五个数据的中位数是6．唯一众数是7，则他们投中次数的总和可能是（）

A．20 B．28 C．30 D．31

5．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

6．若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）

A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1

7．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）

A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）

8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）

A．B．C．

D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题3分．9．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm用科学记数法可表示为2.5×10﹣6m．

10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度．

11．分解因式：a3﹣4a2+4a= ．

12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：

①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a值可以有四个．其中正确的结论是．（只填序号）

13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△

=1，则y2的解析式是．

AOB

14．如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．

三、解答题：本大题共10小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．计算：（）﹣1﹣4sin45°﹣（）0+．16．解不等式组，并写出不等式组的整数解．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．

（1）求∠CAD的度数；

（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

18．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

19．小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．20．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．

（1）求一次函数的表达式；

（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求证：tan∠E=．

22．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：

克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？

A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督

B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志

C．签订“永不酒驾”保证书

D．希望交警加大检查力度

E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= ；

（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y 轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

山东省菏泽市中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在相应的答题栏内．

1．在﹣2，﹣3，0.1四个数中，最小的实数是（）

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1

【考点】实数大小比较．

【分析】根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可．

【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜0＜1，

∴最小的数是﹣3，

故答案选：A．

【点评】本题主要考查了正、负数、0和负数间的大小比较．几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小．

2．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线PR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）

A．60°B．80°C．100°D．120°【考点】平行线的性质．

【分析】由QR∥OB，∠AOB=40°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠AQR的度数，又由∠AOB的两边OA，OB都为平面反光镜，根据反射的性质，可得∠OQP=∠AQR=40°，然后又三角形外角的性质，求得∠QPB的度数．

【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，

∴∠AQR=∠AOB=40°，

∵∠AOB的两边OA，OB都为平面反光镜，

∴∠OQP=∠AQR=40°，

∴∠QPB=∠AOB+∠OQP=40°+40°=80°．

故选B．

【点评】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质以及反射的性质．此题难度不大，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．

3．下列运算正确的是（）

A．5ab﹣ab=4 B．+=C．a6÷a2=a4D．（a2b）3=a5b3

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；分式的加减法．

【专题】计算题．

【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；

B、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=4ab，故A选项错误；

B、原式=，故B选项错误；

C、原式=a4，故C选项正确；

D、原式=a6b3，故D选项错误．

故选：C．

【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

4．五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据．若这五个数据的中位数是6．唯一众数是7，则他们投中次数的总和可能是（）

A．20 B．28 C．30 D．31

【考点】众数；中位数．

【分析】根据题意，可得最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断．

【解答】解：中位数是6．唯一众数是7，

则最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，即，两个较小的数最大为4和5，

总和一定大于等于21且小于等于29．

故选：B．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

5．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

【考点】剪纸问题．

【专题】操作型．

【分析】先求出∠O=60°，再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次进行判断即可得解．【解答】解：∵平角∠AOB三等分，

∴∠O=60°，

∵90°﹣60°=30°，

∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，

再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，

最后沿折痕AB展开得到等边三角形，

即正三角形．

故选：A．

【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．

6．若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）

A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．

【解答】解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．

所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；

+===1．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

7．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）

A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）

【考点】坐标与图形变化-平移；坐标与图形变化-对称．

【专题】几何变换．

【分析】先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（﹣x，y+2），即为P′点的坐标．

【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，

∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．

故选：B．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）

A．B．C．

D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．

【解答】解：动点P运动过程中：

①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；

②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；

③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；

④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；

⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．

结合函数图象，只有D选项符合要求．

故选：D．【点评】本题考查了动点运动过程中的函数图象．把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题3分．9．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm用科学记数法可表示为2.5×10﹣6m．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】直接用科学计数法写出即可．

【解答】解：2.5×0.000001=2.5×10﹣6，

故答案为2.5×10﹣6，

【点评】此题是科学计数法﹣表示较小的数，关键是掌握较小数科学计数法的规律．

10．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 40 度．

【考点】切线的性质；圆周角定理．

【专题】计算题．【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．

【解答】解：连接OD，

∵CD与圆O相切，

∴OD⊥DC，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA=25°，

∵∠COD为△AOD的外角，

∴∠COD=50°，

∴∠C=90°﹣50°=40°．

故答案为：40

【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

11．分解因式：a3﹣4a2+4a= a（a﹣2）2．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】因式分解．【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．

【解答】解：a3﹣4a2+4a，

=a（a2﹣4a+4），

=a（a﹣2）2．

故答案为：a（a﹣2）2．

【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．

12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：

①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a值可以有四个．

其中正确的结论是③④．（只填序号）

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；等腰三角形的判定．

【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴AB=4，

∴对称轴x=﹣=1，

即2a+b=0．

故①错误；

②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．

故②错误；

③∵A点坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．

故③正确；

④∵△ADB为等腰直角三角形．

所以AD=BD=

设D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；

列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去）∴只有a=1/2时三角形ABD为等腰直角三角形

故④正确；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，

∵AO=1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣，

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AB=AC=4时

∵AO=1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c=﹣

与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；

同理当AC=BC时

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．

故⑤错误．

综上所述，正确的结论是③④．

故答案是：③④．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．

13．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2

=1，则y2的解析式是y2=．

于B，交y轴于C，若S△

AOB

【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．

【分析】根据，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．

【解答】解：∵，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，

∴S△

=×4=2，

AOC

=1，

∵S△

AOB

∴△CBO面积为3，

∴k=xy=6，

∴y2的解析式是：y2=．

故答案为：y2=．

【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3是解决问题的关键．

14．如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为（1342，0）．

【考点】规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．

【专题】规律型．

【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标．

【解答】解：连接AC，如图所示．

∵四边形OABC是菱形，

∴OA=AB=BC=OC．

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴AC=AB．

∴AC=OA．

∵OA=1，

∴AC=1．

画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．

由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．

∵2014=335×6+4，

∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014．

∵B4的坐标为（2，0），

∴B2014的坐标为（2+1340，0），

∴B2014的坐标为（1342，0）．故答案为：（1342，0）．

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．

三、解答题：本大题共10小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．计算：（）﹣1﹣4sin45°﹣（）0+．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2﹣4×﹣1+2

=2﹣2﹣1+2

=1．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

16．解不等式组，并写出不等式组的整数解．

【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．

【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再根据x的取值范围找出整数解．

【解答】解：，

解①得：x≤4，

解②得：x＞2，

不等式组的解集为：2＜x≤4．

则不等式组的整数解为：3，4．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．

（1）求∠CAD的度数；

（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答；

（2）通过证△ACD≌△ECD来推知DA=DE．【解答】（1）解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；

（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，

∴∠ECD=90°，

∴∠ACD=∠ECD．

在△ACD与△ECD中，

，

∴△ACD≌△ECD（SAS），

∴DA=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

18．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．

【专题】行程问题．

【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；

（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．

【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：﹣=4

解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解，

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；

（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，

（20﹣3a）（8﹣2a）=56

解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．

【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．19．小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据单价×数量=总价建立方程组，求出其解即可．

【解答】解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得

，

解得：．

答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．

【点评】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，总价=单价×数量的运用，解答时根据题意的等量关系建立方程组是关键．

20．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．

（1）求一次函数的表达式；

（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．

【专题】计算题；数形结合．

【分析】（1）先利用反比例函数解析式y=﹣求出b=4，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式为y=x+5；

（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，则直线y= x+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，

然后消去y得到关于x的一元二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．

【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，

所以A点坐标为（﹣2，4），

把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，

所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，

根据题意方程组只有一组解，

消去y得﹣=x+5﹣m，

整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，

△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，

即m的值为1或9．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求证：tan∠E=．

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；

（2）由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；

（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴=，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

（2）∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；（3）∵AF=3，FG=2，

∴AG=，

tan∠E=tan∠ADG=．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

22．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：

克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？

A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督

B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志

C．签订“永不酒驾”保证书

D．希望交警加大检查力度

E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= 12 ；

（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；（2）利用总人数5000乘以对应的百分比即可求得；

（3）利用概率公式即可求解．

【解答】解：（1）调查的总人数是：81÷27%=300（人），

则选择D方式的人数300﹣75﹣81﹣90﹣36=18（人），

m=×100=12．

补全条形统计图如下：

（2）该市支持选项B的司机大约有：27%×5000=1350（人）；

（3）小李抽中的概率P==．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，

∴▱四边形BECD是菱形；

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

24．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y 轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．

=•PE•y P，所以S可表示，进而由函（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△

APE

数最值性质易得S最值．

（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将x P'坐标代入解析式，判断是否为y P'即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，解得，

∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有，

解得，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

=•PE•y P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S ∴S△

APE

取最大值．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y轴，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，

∵（3﹣m）2+（）2=m2，

∴m=．

∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，

∴P′M=．

在Rt△EMP′中，∵EM==，

∴OM=EO﹣EM=，

∴P′（，）．

当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，

∴点P′不在该抛物线上．

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．