湘教版九年级上册数学期末考试试卷附答案

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．sin60°的值等于（　　）

A． B． C． D．

2．方程的根是（　　　）

A． B． C． D．

3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（  ）

A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)

4．下列说法中，正确的是（   ）

A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似

C．所有的矩形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似

5．如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）

A． ． ． ．

6．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）

A． ．

C． ．

7．将方程进行配方、配方正确的是（　　　）

A． ． ． ．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（　　）

A． ． ． ．

9．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）

A． ． ． ．

二、填空题

10．如果反比例函数是常数，）的图象经过点，则____．

11．已知四个数成比例．若．则____．

12．解方程：的解是____．

13．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是_____．

14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m=_______．

15．藏羚羊是国家保护动物，某地区为估计该地区藏羚羊的数量，先捕捉20只给它们分别作上记号然后放还，带有标记的藏羚羊完全混合于羊群后，第二次捕捉40只，发现其中有2只有标记，从而估计这个地区有藏羚羊_____．

16．已知是方程的一个根，则____．

17．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是____（填写正确的序号）．

三、解答题

18．计算：．

19．已知关于的一元二次方程一个根是，求的值及方程的另一个根．

20．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．

（1）求这个样本数据的平均数、众数；

（2）根据样本数据，估算该校名学生共参加了多少次活动？

21．如图，直升飞机在大桥的上方点处，此时飞机离地面的高度米，且三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，求大桥的长（结果用根式表示）．

22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点的坐标为，点的坐标为．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）直线与轴交于点，点为轴上一个动点，若，求点的坐标．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，已知点坐标，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合）过作轴的平行线交直线于点，连接．

（1）求直线的解析式及点的坐标；

（2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积．

24．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E．

（1）求证：ABE∽DBC；

（2）求线段AE的长．

25．顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在中，已知：且是的垂直平分线，交于，并连接．

（1）是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

（2）设，试求x的值；

（3）如图2，在中将延长至点，使，求的值．

参

1．C

【分析】

把特殊角三角函数值代入求解即可.

【详解】

由正弦定理可得：sin60°=，

故选C

【点睛】

此题考查了特殊角的三角函数值，掌握这些特殊角的三角函数值是解此题的关键.

2．C

【分析】

本题可用因式分解法，提取x后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x．

【详解】

解：∵x2-2x=0

∴x（x-2）=0，

可得x=0或x-2=0，

解得：x=0或x=2．

故选：C．

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用

3．A

【详解】

试题分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．

解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，

∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，

∴端点C的坐标为：（3，3）．

故选A．

考点：位似变换；坐标与图形性质．

4．D

【分析】

根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A、所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故错误；

B、所有的菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误；

C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误；

D、所有的等腰直角三角形，边的比一定相等，而对应角对应相等，故正确．

故选D．

【点睛】

考查相似多边形的判定，对应角相等，对应边的比相等，缺一不可.

5．B

【详解】

由图可知，，，

∴，

∴．

故选．

6．D

【分析】

等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可．

【详解】

第一次降价后的价格为：25×(1-x)；

第二次降价后的价格为：25×(1-x)2；

∵两次降价后的价格为16元，

∴25(1-x)2=16．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．

7．D

【分析】

先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为1，最后两边加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．

【详解】

解：方程移项得：3x2-12x=1，

方程两边除以3得：x2-4x=，

配方得：x2-4x+4=+4=，即（x-2）2=，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．A

【分析】

延长FE交BC于点D，作EG⊥AB、作EH⊥AC，由EF∥AC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠GAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△GAE≌△HAE、△DCE≌△HCE得AG=AH、CD=CH，设BD=BG=x，则AG=AH=6-x、CD=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AG=4，再证△CDF∽△CBA，可得，据此得出EF=DF-DE=.

【详解】

解：如图，延长FE交BC于点D，作EG⊥AB于点G，作EH⊥AC于点H，

∵EF∥AB、∠ABC=90°，

∴FD⊥AB，

∵EG⊥BC，

∴四边形BDEG是矩形，

∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，

∴ED=EH=EG，∠GAE=∠HAE，

∴四边形BDEG是正方形，

在△GAE和△HAE中，

∵，

∴△GAE≌△HAE（AAS），

∴AG=AH，

同理△DCE≌△HCE，

∴CD=CH，

设BD=BG=x，则AG=AH=6﹣x、CD=CH=8﹣x，

∵AC= = =10，

∴6﹣x＋8﹣x=10，

解得：x=2，

∴BD=DE=BG=2，AG=4，

∵DF∥AB，

∴△DCF∽△BCA，

∴，即，

解得：，

则EF=DF﹣DE=，

故选A

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．

9．C

【分析】

把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C

【详解】

∵函数与的图像交于点P(，)，

∴，，即，，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．

10．

【分析】

把点(2，3)代入即可求出k的值．

【详解】

解：因为反比例函数经过点(2，3)，

把(2，3)代入，得，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

11．

【分析】

由四条线段a、b、c、d成比例，根据成比例线段的定义，即可得，又由a=2，b=3，d=6，即可求得c的值．

【详解】

解：∵四条线段a、b、c、d成比例，

∴，

∵a=2，b=3，d=6．

∴，

解得：c=4．

故答案为：4．

【点睛】

此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．

12．

【分析】

利用直接开平方法解方程即可．

【详解】

解：，即，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

13．（1，1 ）．

【解析】

试题分析：利用抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k直接求出顶点坐标即可．

解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），

∴y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．

故答案为（1，1 ）．

考点：二次函数的性质．

14．.

【详解】

∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴方程根的判别式于0，

∴由△=1﹣4m=0解得：m=．

故答案为：．

考点：一元二次方程根的判别式．

15．400

【详解】

解：根据概率的计算法则可得：藏羚羊的数量为：40÷=400只．

故答案为：400．

考点：概率的应用

16．

【分析】

由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可．

【详解】

∵是方程的一个根．

∴，即．

将等号两边同时乘得：

，即．

∴．

故答案为：-2021．

【点睛】

本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．

17．②③⑤

【分析】

利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；

利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；

利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），则可对③进行判断；

根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断；

利用5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，则可对⑤进行判断．

【详解】

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，

∴b=2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），

∴9a-3b+c=0，所以③正确；

∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小，

而抛物线开口向上，

∴y1＜y2；所以④错误；

∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，

故答案为：②③⑤．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

18．4

【分析】

直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【详解】

解：

【点睛】

此题主要考查了实数运算，三角函数，正确化简各数是解题关键．

19．，

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=-k，2t=6，然后先求出t的值，再计算k的值．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2+t=-k，2t=6，

解得t=3，k=-5．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．

20．（1）平均数是次，众数是次；（2）3960．

【分析】

（1）根据加权平均数的公式和众数的定义即可求出．

（2）利用样本估计总体的方法，用1200×平均数即可.

【详解】

（1）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：

次，

则这组样本数据的平均数是次．

在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，

这组数据的众数是次．

（2）这组样本数据的平均数是次，

估计全校人参加活动次数的总体平均数是次，

故全校人参加活动次数为次．

【点睛】

本题考查的是条形统计图，平均数，众数以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．

21．．

【分析】

利用特殊角的三角函数解三角形即可．

【详解】

由题意得：，

，即求出米，

，即求出米，

则米．

【点睛】

本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．

22．（1），；（2）的坐标为或．

【分析】

（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；

（2）设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m-7|，根据S△AEB=S△BEP-S△AEP=5，求出m的值，从而得出点E的坐标．

【详解】

解：把点代入，得．

则反比例函数的表达式为．

把点代入，得．

则点的坐标为．

由直线过点，

得

解得

则一次函数的表达式为

如图，设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，

则点P的坐标为（0，7）

∴PE=|m-7|

∵S△AEB=S△PEB-S△PEA=5

∴×|m-7|×12-×|m-7|×2=5．

∴×|m-7|×（12-2）=5

∴|m-7|=1．

∴m1=6，m2=8

∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）

【点睛】

本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

23．（1），B的坐标为；（2）点的坐标为，面积的最大值为．

【分析】

（1）先求出抛物线与x轴交点A的坐标，再将A点坐标代入 ，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，解方程组，即可求得B点的坐标；

（2）设P（x，），则C（x， ），则PC=-x2-4x+5，利用三角形面积公式得到S△APB=PC•|xA-xB|=（-x2-4x+5）×（1+5），然后利用二次函数的性质解决问题．

【详解】

解：点的坐标为，将代入，

得，

解得，

直线的解析式为

由

解得，

的坐标为

设，则，

，

当时，面积最大，最大值为，

此时点的坐标为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求直线的解析式，函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中．

24．（1）证明见解析；（2）AE=15．

【分析】

（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC；

（2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案．

【详解】

（1）∵AB＝AD＝25，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠C＝90°，

∴△ABE∽△DBC；

（2）∵AB＝AD，AE⊥BD，

∴BE＝DE，

∴BD＝2BE，

∵△ABE∽△DBC，

∴，

∵AB＝AD＝25，BC＝32，

∴，

∴BE＝20，

∴AE＝＝15．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

25．（1）△BDC是黄金三角形，理由见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）先根据AB=AC，∠A=36°证明∠ABC=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质证明∠ABD=∠A=36°，∠BDC=∠C，从而可得结论；

（2）证明，根据相似三角形的性质可得方程，求解方程即可；

（3）证明可得结论．

【详解】

解：是黄金三角形．证明如下：

点在的垂直平分线上，

，

又，

是黄金三角形．

设，由知，．

，

即

整理得，解得．

因为均为正数，

所以，

，

，

，

，

．

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．