超详细高考数学排列组合常见方法(精华版)

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排列组合中的常用方法

n!

m)!

m

1. 排列数：

P

n(n

1)( n

2)

( n

m

1)

，（其中

m≤n，m、 n

N） .

n

(n

n!

n)!

m

n

n!

注意： 为了使 m=n时，

0！ 1（同时

1！ 1） .

P

P

公式成立，我们规定

n

n

(n

m

Pn

n( n

m(m

1)( n

2)

(n

m

2

1)

1

n!

m! (n

m n

N    ,且m

2. 组合数：

C

(n, m

n)

m

Pm

1)(m

2)

3

m)!

m

n  m

N    ,且m

Cn

Cn

( n, m

n) .

n

0

0

为了使 m=n时， Cn

Cn 公式成立，我们规定

Cn

1，

注意：

0

0

k

k

1

1

1

所以

Ck

Ck

Ck

Ck

；

1

3. 排列组合问题联系生活实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，

首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题 的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

4. 排列组合中的常用方法如下：

（ 1）特殊元素和特殊位置问题——优限法

（ 2）多元问题——合理分类与分步法

（ 3）相邻问题——捆绑法

（ 4）不相邻问题——插空法

（ 5）定序问题——倍缩法

（ 6）重排问题——求幂法

（ 7）平均分组问题——除序法

（ 8）分组问题——隔板法

（ 9）分配问题——先分组后排列法

（ 10）球盒问题

（ 11）区域涂色问题——分步与分类综合法

（ 12）“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题

—— 排除法或分类法（ “正难则反”策略）

（ 13）元素个数较少的排列组合问题

—— 枚举法

（ 14）复杂的排列组合问题——分解与合成法

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1. 特殊元素和特殊位置问题——优限法

元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为

主，则先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，则先满足特殊位置的要求，再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

例 1. 从含有甲乙的

6 名4 人参加 4*100 米接力，问其中甲不能跑第一棒，且

乙不能跑第四棒的概率是

2. 多元问题——合理分类与分步法

例 2.（1983 第 1 届美国高中数学邀请赛）数

1447，1005 和 1231 有某些共同点，即每个数都是

首位为 1 的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？

3. 相邻问题——捆绑法

将 n 个不同元素排列成一排，其中某

k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？

Pn  k  1

先将这 k 个元素“捆绑在一起” ，看成一个整体， 当作一个元素同其它元素一起排列，

共有

n   k  1

k

种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有

Pk

种方法。由乘法原理得，符合

n   k  1    k

条件的排列共

种。

Pn

Pk

k  1

a, b 两种必须排在一起，而

c, d

例 3. 六种不同的商品在货架上排成一排，其中

两种不能排在一

起，则不同的选排方法共有

      种。

4. 不相邻问题——插空法

不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相邻的几个元素插入上述

k 个元素互不相邻    (k ≤ n

几个元素的空位和两端。将

n 个不同元素排成一排，其中

k) ，有多

少种排法？先把

k) 个元素排成一排，然后把

k  个元素插入

k    1) 个空隙中，共有排法

(n

(n

k

Pn

1 种。

k

例 4. 某6 个节目已排成节目单，开演前又增加了

3 个新节目，如果将这

3

个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为

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5. 定序问题——倍缩法

在排列问题中某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法，此法也叫作

消

序法。 如将 n 个不同元素排列成一排，其中某

k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？

Pn

Pk

将 n 个不同元素排列成一排，共有

种排法； k 个不同元素排列成一排共有

种不同排法。

n

k

n

Pn

k

Pk

于是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的

种。

分之一。故符合条件的排列共有

k

Pk

C 的同侧，则不同的排

例 5. （2013 浙江）将

A, B,C, D, E, F

六个字母排成一排，且

A, B 均在

法 共有     种。

6. 重排问题——求幂法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各

mn

个元素的位置。一般地，

n 个不同的元素没有地安排在

m 个位置上的排列数为

种。

例 6. 把 7 个不同的小球放入

4 个不同的盒子，共有

     种不同的方法。

7. 平均分组问题——除序法

平均分成的组， 不管它们的顺序如何， 均分的组数 )，避免重复计数。

n! ( n 为

都是一种情况， 所以分组后一定要除以阶乘

例 7. 已知 3 名医生和 6 名护士被分配到

3 所学校为学生体检，

每校分配 1名医生和

2 名护士， 不

同的分配方法共有

     种。

8. 分组问题——隔板法

将 n 个相同的元素分成

m 份（ n，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用

m-1 块隔板，

m  1

插入 n 个元素排成一排的

n-1 个空隙中，所有分法种数为

Cn    .

1

例 8. 有 5 本相同的数学书和

放在一起，则不同的放法数为

3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上，并且语文书不能

9. 分配问题——先分组后排列法

例 9. 将 9 个学生分配到

配方法有多少种？

3 个不同的三个宿舍，每宿舍至多

4 人（床铺不分次序） ，则不同的分

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10. 球盒问题

例 10. （1） 8 个相同的球放入

3 个相同的盒子，不能有空盒的放法种数等于

（ 2）8 个相同的球放入

于      

3 个相同的盒子，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等

（ 3）8 个相同的球放入

（ 4）8 个相同的球放入 为      

3 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数为

3 个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数

（ 5）8 个不同的球放入

（ 6）8 个不同的球放入 等于      

3 个相同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于

3 个相同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数

（ 7）8 个不同的球放入

3 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于

（ 8）8 个不同的球放入

等于      

3 个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数

总结：

（ 1）ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（ 整数的和的种数。

（ 2）ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（

n≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ分解为ｍ个正

n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放

法种数等于将ｎ分解为ｍ个、

和。

(ｍ－ 1)个、 (ｍ－ 2)个、

、 2 个、 1 个正整数的和的所有种数之

C m 1

（ 3）ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（

n≥m），不能有空盒的放法种数为：

.

n  1

（ 4）ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（

n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）可

以(ｎ+m) 个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（

n≥m），不能有空盒，然后再从每个盒

子中取出一个球即可，所以ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（

n≥m），可以有空盒（但至少

C m 1

有一个盒子有球）

的放法种数为

.也可以多次利用隔板法，

ｎ个相同的球放入ｍ个不同的

n   m  1

1

1

1

1

Cn

Cn

Cn

...  Cn

m1

nm  1

1

2

3

1)!

m 1

盒子中（ n≥m），可以有空盒的放法种数为得出：

C

.

(m

ｎ

（ 5）ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（ 分成ｍ堆的种数。

（ 6）ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（ 放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、 和。

（ 7）ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，

n≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球

n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的

(ｍ－ 1)堆、 (ｍ－ 2)堆、

、 2 堆、 1 堆的所有种数之

不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆

的种数再乘以ｍ！

.

（ 8）ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（

放ｎ 种。

n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的

注意：

（ 1）解决球盒问题的基本思路是先把球分组再把球分配，即先组合后排列。

（ 2）当球和盒子都相同时，只需把球分组即可、不需分配。且分组时不能运用组合公式，因为

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使用组合公式的前提是各元素要不同。

（ 3）当球相同、盒子不同时，运用隔板法（盒子不能空）或者连续隔板法（盒子可以空，注意 排除重复计数的情况）把球分组即可、不需分配，球相同时不能使用组合公式分组，这里运用 组合公式分组实际上已经把分配的排序问题解决了。

（ 4）当球不同、盒子相同时，只需使用组合公式把球分组即可、不需分配。分组过程中存在平 均分组时需要倍缩除序。

综合（ 3）和（ 4）可知，当球和盒子中有一项不同时，只需分组不需分配：当球相同、盒子不 同时，运用隔板法或者连续隔板法分组；当球不同、盒子相同时，使用组合公式分组。

（ 5）当球和盒子都不同时，只需使用组合公式把球先分组，然后再分配（盒子不能空）或者分

步分配每个球（盒子可以空）

。

11. 区域涂色问题——分步与分类综合法

解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜 色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类。以上三种方法常会结合起来使用。

例 11. 某人有 4 种( 每种颜色的灯泡足够多

) ，要在如图所示的

6 个点 A、B、C、A1、

B1、 C1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个

的安装方法共有

     种_。_

12. “至少”“至多”问题或者部分符合条件问题

—— 排除法或分类法（ “正难则反”策略）

例 12. 四面体的顶点和各棱中点共

10 个点，在其中取 4 个不共面的点， 则不同的取法共有

13. 元素个数较少的排列组合问题

—— 枚举法

例 13. 已知 3 人相互传球，

手中，则不同的传球方式有

     种。

经过 5 次传球后， 球仍回到甲的

14. 复杂的排列组合问题

----    分解与合成法

分解与合成法是排列组合问题的一种最基本的解题策略，即把一个复杂问题分解成几个小

问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从 而得到问题的答案。每个比较复杂的问题都可以用这种解题策略。

例 14. 自然数 30030 能被多少个不同偶数整除？

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变式训练：

1. （ 2012 全国Ⅰ）将

1，2， 3 填入 3×3  的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一

种填法，则不同的填写方法共有

     种。

2. 设

，

，

，

， ，

是

， ，

，

的一个排列，把排在

的顺序数

如6，5，4，3，2，1 中，5 的顺序数为

1，3 的顺序数为

则

，

在由 1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足

8 的2，7 的顺

序数为 3， 5 的顺序数为

3 的不同排列的种数为

3. 设集合

A

{

x1, x2 , x3 , x4    | xi

1,0,1  , i

1,2,3,4}

A 中满足条件：

，那么集合

2

2

2

2

“

x1

x2

x3

x4

4 ”的元素个数为

4. 设集合

满足条件“

5. 如图所示，在以

，

，

，

，

，

，

，

， ，

， ，

，那么集合

A 中

”     

AB为直径的半圆周上，有异于

A， B 的C1、 C2、

、 C6，直径 AB上有

异于 A、 B 的D1、 D2、 D3、 D4. 则：

（ 1）以这 12 个点 ( 包括 A， B) 中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？

（ 2）以这 10 个点 ( 不包括 A，B) 中的 3 个点为顶点， 可作出多少个三角形？其中含点 少个？

C1 的有多

6. 将 25 人排成 5×5方阵，从中选出

法为     种。

3 人，要求其中任意

2 人既不同行也不同列，则不同的选

7. 学生在拼写“ hollywood    ”可能的拼写错误有

     种。

8. 将 20 个相同的小球， 全部装入编号为

1，2，3 的三个盒子里， 每个盒子内所放的球数不小于

盒子的编号数，则共有

     种不同的放法。

9.（ 2015 静安区一模）两名高一学生被允许参加高二年级象棋比赛，每两名参赛选手之间都比

赛一次，胜者得

1 分，和棋各得

0.5 分，输者得

0 分；两名高一学生共得

8 分，且每名高二学

生都得相同分数，则有

     名高二学生参赛。

10. 马路上有编号为

1， 2，3

， 9 九只相同路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二

盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有

     种。

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11. 有 7 个灯泡排成一排，

现要求至少点亮其中的

3 个灯泡， 且相邻的灯泡不能同时点亮，

则不

同     种。

12. 已知方程

x

y

z

w

100 ，这个方程的自然数解的组数为

13. 如图，点

P1  ， P2 ，

， P10  分别是四面体顶点或棱的中点，则在同一平面上的四点组

P1 ，Pi  ，Pj  ，Pk

j    k ≤ 10 有     个。

1

i

P1

P4

P2

P3

P7

P10

P9

P8

P5

P6

14. 将正方体    ABCD-A1B1C1D1 的各面涂色，任何相图 邻17两-2个面不同色，现在有

5 个不同的颜色，并且

涂好了过顶点

A 的

3 个面的颜色，那么其余

3 个面的涂色方案共有

     种。

15. 用四种不同的颜色为正六边形

（如图）中的六块区域涂色， 要求有公共边的区域涂不同颜色，

一共有     种不同的涂色方法。

16.平面上给定

10 个点，任意三点不共线，由这

10 个点确定的直线中，无三条直线交于同一点

（除原 10 点外），无两条直线互相平行。

求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原

（ 2）这些直线交成多少个三角形？

10 点外）？

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17. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？

（ 1）6 个不同的小球放入

（ 2）6 个不同的小球放入

（ 3）6 个相同的小球放入

（ 4）6 个不同的小球放入

4 个不同的盒子；

4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

4 个不同的盒子，恰有

1 个空盒．

18. 包3 个人练习传球，设传球

n 次，每人每次只能传一下，首先从甲手

中传出，第

8 次仍传给甲，共有多少种不同的方法？

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