中考数学专项练习相交线与平行线(含解析)

一、单选题

1.下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）            

A.            B.           C.         D. 

2.下列说法：（1）同角的余角相等（2）相等的角是对顶角（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短中，正确的个数是（  ）            

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

3.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（　　）

A. 120°                                     B. 130°                                     C. 140°                                     D. 40°

4.如图，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=（       ）

A. 10°                                       B. 15°                                       C. 20°                                       D. 30°

5.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，若∠EOD=110°，则∠AOC的度数是（   ）  

A. 35°                                      B. 55°                                      C. 70°                                      D. 110°

6.如图，在△ABC中，∠CAB＝70º，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB, 则∠BAD的度数为（   ）

A. 30°                                       B. 35°                                       C. 40°                                       D. 50°

7.如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于点H,EF⊥AB于点F，则下列结论中，不正确的是（     ）

A. ACD=B                        B. CH=CE=EF                        C. AC=AF                        D. CH=HD

8.如图，以下推理正确的是（　　）

A. 若AB∥CD，则∠1=∠2                                        B. 若AD∥BC，则∠1=∠2

C. 若∠B=∠D，则AB∥CD                                       D. 若∠CAB=∠ACD，则AD∥BC

9.如图，下列说法中，正确的是（   ）  

A. 因为∠A+∠D=180°，因此AD∥BC                      B. 因为∠C+∠D=180°，因此AB∥CD

C. 因为∠A+∠D=180°，因此AB∥CD                      D. 因为∠A+∠C=180°，因此AB∥CD

10.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2， AC＝3， BC＝6，则⊙O的半径是（　  　）

A. 3                                        B. 4                                        C. 4                                        D. 2

二、填空题

11.填写理由

AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗?什么缘故?

解:BE∥/DF

∵AB⊥BC,

∠ABC=________

即∠3+∠4=________

又∵∠1+∠2=90°,

且∠2=∠3

∴________=________

理由是：________

∴BE∥DF

理由是:________

12.如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3等于________．  

13.如图，直角三角尺的直角顶点在直线b上，∠3 = 25°，转动直线a，当∠1=________,时，a∥b 

14.如图一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD，是依照________ 

15.如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F=40°，则∠E=________度．

16.如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________．

17.如图，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于E，OE=2，则点O到AB与CD的距离之和为________．  

18.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长________cm．  

三、运算题

19.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，若BC∥DE，求∠B的度数．  

20.如图在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD．试问直线AE、CF的位置关系如何？请说明你的理由．  

21.如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=68°，求∠AGD的度数．

22.已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．  

四、解答题

23.如图,直线l1∥l2,∠BAE=125°,∠ABF=85°,则∠1+∠2等于多少度?

24.如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

25.已知：如图，a//b，∠1=55°，∠2=40°，求∠3和∠4的度数．

五、综合题

26.如图，点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A、B，已知抛物线y= x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．

（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．    

（2）点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PC﹣PA的最大值．    

（3）CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，CE交OA于点D，求OE所在直线的函数关系式．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C  

【考点】对顶角、邻补角   

【解析】【解答】解：依照对顶角的定义可知：C中∠1、∠2属于对顶角，故选C．

【分析】依照对顶角的定义来判定，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，如此的两个角叫做对顶角．

2.【答案】C  

【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线段最短   

【解析】【解答】解：同角的余角相等，故（1）正确；  

如图：

∠ACD=∠BCD=90°，但两角不是对顶角，故（2）错误；

在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故（3）正确；

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；

即正确的个数是3，

故选C．

【分析】依照余角定义，对顶角定义，垂线段最短，平行线定义逐个判定即可．

3.【答案】C  

【考点】平面中直线位置关系   

【解析】【解答】解：如图，

∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∴∠3=∠5，

∵∠3=40°，

∴∠5=40°，

∴∠4=180°﹣40°=140°，

故答案为：C．

【分析】第一依照同位角相等，两直线平行可得a∥b，再依照平行线的性质可得∠3=∠5，再依照邻补角互补可得∠4的度数．

4.【答案】B  

【考点】平行线的性质   

【解析】【解答】过点P作PM∥AB，

∴AB∥PM∥CD，

∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，

∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，

∴45°+α=（60°-α)+（30°-α)，

解得α=15°．

故选B．

【分析】过点P作一条直线平行于AB，依照两直线平行内错角相等得：∠APC=∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解即可．注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．

5.【答案】B  

【考点】角平分线的定义，对顶角、邻补角   

【解析】【解答】解：∵∠EOD=110°，OB平分∠EOD，  ∴∠BOD= ∠EOD=55°，

∴∠AOC=∠BOD=55°，

故选：B．

【分析】依照角平分线定义可得∠BOD= ∠EOD，由对顶角性质可得∠AOC=∠BOD．

6.【答案】C  

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质   

【解析】【分析】因为△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转得到的，因此△ADE≌△ABC，因此∠CAB＝∠EAD=70º，AE=AC，

因为EC∥AB，因此∠CAB＝∠ECA=70°，

因为AE=AC，因此∠AEC=70°，因此∠EAC=180°-70°×2=40°，

因此∠CAD=∠EAD-∠EAC=70º-40°=30°，因此∠BAD=∠CAB-∠CAD=70º-30°=40°.

【点评】该题是常考题，要紧考查学生对图形旋转的意义，以及对全等三角形性质和角的等量代换的应用。

7.【答案】D  

【考点】余角和补角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质   

【解析】

【分析】依照角平分线求出CE=EF，∠CAE=∠BAE，依照三角形内角和定理求出∠B=∠ACD，依照三角形外角性质求出∠CHE=∠CEH，依照等腰三角形性质推出CH=CE，依照勾股定理求出AC=AF，即可得出选项．

【解答】A、∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠ACD=∠B，正确，故本选项错误；

B、∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EF⊥AB，

∴CE=EF，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠BAE，

∵∠B=∠ACD，

∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAE，

即∠CHE=∠CEH，

∴CH=CE=EF，正确，故本选项错误；

C、CH=EF＞HD，错误，故本选项正确；

D、在Rt△ACE和Rt△AFE中，AE=AE，CE=EF，由勾股定理得：AC=AF，正确，故本选项错误；

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形性质，角平分线性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

8.【答案】B  

【考点】平行线的判定与性质   

【解析】【解答】解：A、依照AB∥CD不能推出∠1=∠2，故本选项错误；

B、∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，故本选项正确；

C、依照∠B=∠D不能推出AB∥CD，故本选项错误；

D、依照∠CAB=∠ACD不能推出AD∥BC，故本选项错误；

故选B．

【分析】依照平行线的性质和判定逐个判定即可．

9.【答案】C  

【考点】平行线的判定   

【解析】【解答】解：A、C、因为∠A+∠D=180°，由同旁内角互补，两直线平行，因此AB∥CD，故A错误，C正确；  B、因为∠C+∠D=180°，由同旁内角互补，两直线平行，因此AD∥BC，故B错误；

D、∠A与∠C不能构成三线八角，无法判定两直线平行，故D错误．

故选：C．

【分析】A、B、C、依照同旁内角互补，判定两直线平行；D、∠A与∠C不能构成三线八角，因而无法判定两直线平行．

10.【答案】D  

【考点】平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质   

【解析】【解答】解 ：延长AC交⊙O于F，连接FD．                                                                                                                                               

∵∠C=90°，DE∥BC，

∴∠DEF=90°，

∴FD是圆的直径．

∵AB切⊙O于D，

∴FD⊥AB．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∴AE∶AC=DE∶BC，即2∶3=DE∶6，

∴DE=4．

∵∠ADF=90°，DE⊥AF，

∴∠DEF=∠AED=90°;∠A＋∠F=90°,∠A＋∠ADE=90°;

∴∠F=∠ADE

∴△ADE∽△DFE，

∴DE∶FE=AE∶DE

∴DE2=AE•EF，即42= 2•EF，

∴EF=4

∴DF=

OD=

∴半径为

【分析】延长AC交⊙O于F，连接FD．    依照二直线平行同旁内角互补得出∠DEF=90°，依照圆周角定理得出FD是圆的直径．依照切线的性质得出FD⊥AB．依照平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC．依照相似三角形对应边成比例得出AE∶AC=DE∶BC，即2∶3=DE∶6，进而得出DE的长度，然后再判定出△ADE∽△DFE，依照相似三角形对应边成比例得出DE∶FE=AE∶DE，即DE2=AE•EF，即42= 2•EF，算出EF的长度，依照勾股定理得出DF的长度，从而得出该圆的半径。

二、填空题

11.【答案】90°；90°；∠1、；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行  

【考点】余角和补角，垂线，平行线的判定与性质   

【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90∘，

即∠3+∠4=90∘.

又∵∠1+∠2=90∘，

且∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

理由是：等角的余角相等，

∴BE∥DF.

理由是：同位角相等，两直线平行。

故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行。

【分析】依照AB⊥BC，得出∠ABC为直角，可得出∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，可得出∠2=∠3，利用等角的余角相等得到∠1=∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．。

12.【答案】105°  

【考点】平行线的性质   

【解析】【解答】解：  

∵∠1+∠4=∠2，

∴∠4=∠2﹣∠1=140°﹣65°=75°，

∵a∥b，

∴∠3+∠4=180°，

∴∠3=105°，

故答案为：105°．

【分析】依照三角形外角性质求出∠4，依照平行线性质得出∠3+∠4=180°，求出即可．

13.【答案】65°  

【考点】余角和补角，平行线的性质   

【解析】【解答】解：由图可得：∠2+∠3＝90o  ， 

又 ∵∠3 = 25°，

∴∠2＝65o,

∵a//b,

∴∠1=∠2=65o.

故答案是：65o.

14.【答案】同旁内角互补，两直线平行  

【考点】平行线的判定   

【解析】【解答】解：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，

∴∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

【分析】由已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，即∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，可得关于AB∥CD的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．

15.【答案】80  

【考点】角平分线的定义，角的运算，平行线的性质   

【解析】【解答】解：如图所示：

设∠EPC=2x，∠EBA=2y，

∵∠EBA、∠EPC的角平分线交于点F

∴∠CPF=∠EPF=x，∠EBF=∠FBA=y，

∵∠1=∠F+∠ABF=40°+y，

∠2=∠EBA+∠E=2y+∠E，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CPF=x，∠2=∠EPC=2x，

∴∠2=2∠1，

∴2y+∠E=2（40°+y），

∴∠E=80°．

故答案为：80．

【分析】依照平行线的性质两直线平行，同位角相等，再由角的和差，求出∠E的度数.

16.【答案】EF、HG、DC  

【考点】认识立体图形，平面中直线位置关系   

【解析】【解答】解：与AB平行的线段是：DC、EF；与CD平行的线段是：HG，因此与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．

故答案是：EF、HG、DC．

【分析】观看图形，与线段AB平行的线段有两类，直截了当与AB平行的线段；与平行于AB的线段平行，即可得出答案。

17.【答案】4  

【考点】平行线的性质，角平分线的性质   

【解析】【解答】解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，  

∵AB∥CD，

∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，

∴OM=OE=2，

∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，

∴ON=OE=2，

∴MN=OM+ON=4，

即AB与CD之间的距离是4．

故答案为：4．

【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后依照角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．

18.【答案】10  

【考点】平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质   

【解析】【解答】解：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，  ∴∠5=∠6，∠1=∠2，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠4=∠6，∠1=∠3．

∴∠4=∠5，∠2=∠3，

 即OD=BD，OE=CE．

∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．

故答案为：10．

【分析】依照角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．

三、运算题

19.【答案】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，  ∴∠BCE=90°，∠E=∠B，

∵BC∥DE，

∴∠E=180°﹣∠BCE=90°，

∴∠B=90°．  

【考点】平行线的性质，旋转的性质   

【解析】【分析】先依照旋转的性质得∠BCE=90°，∠E=∠B，然后依照平行线的性质求出∠E的度数即可．

20.【答案】解：AE∥CF．  理由如下：∵∠B=∠D=90°，

∴∠BAD+∠BCD=360°﹣90°×2=180°，

∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠1= ∠BAD，∠2= ∠BCD，

∴∠1+∠2= （∠BAD+∠BCD）= ×180°=90°，

∵∠B=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∴AE∥CF．

【考点】平行线的判定   

【解析】【分析】依照四边形的内角和等于360°求出∠BAD+∠BCD=180°，再依照角平分线的定义求出∠1+∠2=90°，依照直角三角形两锐角互余求出∠2+∠3=90°从而得到∠1=∠3，然后依照同位角相等，两直线平行证明即可．

21.【答案】解：∵EF∥AD，

∴∠1=∠3，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AB∥DG，

∴∠BAC+∠AGD=180°，

∵∠BAC=68°，

∴∠AGD=112°  

【考点】平行线的判定与性质   

【解析】【分析】依照二直线平行，同位角相等得出∠1=∠3，又∠1=∠2，故∠2=∠3，依照内错角相等，两直线平行得出AB∥DG，依照二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠AGD=180°，从而得出∠AGD的度数。

22.【答案】证明：∵BE⊥FD，  

∴∠EGD=90°，

∴∠1+∠D=90°，

又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，

∴∠1=∠2，

又已知∠C=∠1，

∴∠C=∠2，

∴AB∥CD  

【考点】平行线的判定   

【解析】【分析】第一由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，因此得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．

四、解答题

23.【答案】解:如图,过点A向左作AC∥l1.过点B向左作BD∥l2,

则∠1=∠3,∠2=∠4.

∵l1∥l2,

∴AC∥BD,

∴∠CAB+∠DBA=180°,

∵∠3+∠4+∠CAB+∠DBA=125°+85°=210°,

∴∠3+∠4=30°,

∴∠1+∠2=30°.  

【考点】平行线的判定与性质   

【解析】【分析】添加辅助线，过点A向左作AC∥l1.过点B向左作BD∥l2  ， 可得出∠1=∠3,∠2=∠4，再依照平行线的性质证明∠CAB+∠DBA=180°,再求出∠3+∠4的值，即可求解。

24.【答案】证明：∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，∴CF＝BE.又∵∠CFD＝∠BEA ，DF＝AE

 ∴△DFC≌△AEB(SAS)，

∴CD＝AB，∠C＝∠B，∴CD∥AB.  

【考点】平行线的判定，全等三角形的判定与性质   

【解析】【分析】CD＝AB，CD∥AB.理由如下：依照SAS判定出△DFC≌△AEB，然后依照全等三角形对应边相等，对应角相等即可得出CD＝AB，∠C＝∠B，再依照内错角相等，两直线平行即可得出CD∥AB.

25.【答案】解：∵a//b，∠1=55°，∠2=40°，

∴∠5=∠1=55°，

∠4=∠2+∠5=95°；

∵∠2+∠3+∠5=180°，

∴∠3=85°．

∴∠3=85°，∠4=95°．

【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质   

【解析】【分析】如图：由a//b，可得：∠1=∠5，∠4=∠2+∠5（两直线平行，同位角相等）；又因为∠2+∠3+∠5=180°，因此能够求得∠3的度数．

五、综合题

26.【答案】（1）解：由题意，得

A（2，0），B（6，0）．

将A，B点坐标代入函数解析式，得

，

解得 ，

函数解析式为y═ x2﹣ x+2，

当x=0时，y=2，即C点坐标为（0，2），

图象如图1

（2）解：由三角形的两边之差小于第三边，得

PC﹣PA＜CA，

当时P，A，C在同一条直线上时，PC﹣PA=AC =2 ，

即PC﹣PA的最大值是2 

（3）解：如图2

，

连接MC，ME，

∵CE是过点C的⊙M的切线，E是切点，

∴∠MED=∠COD=90°．

在△CDO和△MED中，

，

∴△CDO≌△MED（AAS），

DO=DE，DC=DM，

∠DEO=∠DOE，∠MCD=∠CMD．

∵∠DEO= ，∠MCD= ，

∴∠MCE=∠CEO，

∴CM∥OE，

∵直线CM的解析式为y=﹣ x+2，

∴直线OE的解析式为y=﹣ x  

【考点】待定系数法求二次函数解析式，平行线的判定与性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质   

【解析】【分析】（1）依照待定系数法，可得函数解析式，依照自变量与函数值得对应关系，可得C点坐标；（2）依照三角形三边的关系，可得PC﹣PA＜CA，依照线段的和差，可得答案；（3）依照全等三角形的判定与性质，可得DO=DE，DC=DM，依照等腰三角形的性质，三角形的内角和，可得∠MCE=∠CEO，依照平行线的判定与性质，可得答案．