2020年四川省成都市高考数学一诊考试(理科)试题Word版含解析

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（　　）

A．（﹣1，2）    B．（﹣2，1）    C．[﹣1，2]    D．[﹣2，1]

2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（　　）

A．若a≤b，则a+c≤b+c    B．若a+c≤b+c，则a≤b

C．若a+c＞b+c，则a＞b    D．若a＞b，则a+c≤b+c

3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（　　）

A．    B．﹣1或1    C．﹣l    D．l

4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．3

5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（　　）

A．25    B．5    C．﹣15    D．﹣20

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．136π    B．34π    C．25π    D．18π

8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（　　）

A．x=一    B．x=    C．x=    D．x=

9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①②③

10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（　　）

A．3    B．2    C．2    D．﹣3

11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（　　）

A．﹣7    B．﹣6    C．﹣3    D．﹣1

12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，则tln的值为（　　）

A．4e2    B．8e    C．2    D．8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=　　．

14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容 异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为　　．

15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为　　．

16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．

（I）证明数列{an+4}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．

18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．

已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．

（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．

（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（I）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．

（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；

（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．

（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

（I）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题

参

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（　　）

A．（﹣1，2）    B．（﹣2，1）    C．[﹣1，2]    D．[﹣2，1]

【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．

【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，

则∁UA={x|﹣1≤x≤2}，

故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（　　）

A．若a≤b，则a+c≤b+c    B．若a+c≤b+c，则a≤b

C．若a+c＞b+c，则a＞b    D．若a＞b，则a+c≤b+c

【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．

【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是

“若a≤b，则a+c≤b+c”．

故选：A．

【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．

3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（　　）

A．    B．﹣1或1    C．﹣l    D．l

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．

【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，

x＞0，y=3x+2=0，无解，

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．

4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．3

【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．

【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，

∴|PF1|=13，

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，

∵c=6，∴e==，

故选C．

【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．

5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．

【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，

∵sin2α=﹣，

∴cosα﹣sinα=﹣=

==，

故选B．

【点评】本题考查二倍角的正弦函数，平方关系，以及三角函数值的符号，属于基础题．

6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（　　）

A．25    B．5    C．﹣15    D．﹣20

【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．

【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．

故选：C．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．136π    B．34π    C．25π    D．18π

【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．

【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，

其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，

∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，

∴该四棱锥的外接球的半径R==，

∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．

故选：B．

【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥、几何体的三视图的性质及构造法的合理应用．

8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（　　）

A．x=一    B．x=    C．x=    D．x=

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．

【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上

所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；

再将图象上所有点向右平移个单位长度，

得到函数g （x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，

令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．

令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①②③

【分析】在①中，由AA1EHGF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．

【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，

平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．

∴AA1EHGF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；

∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；

∵AA1EHGF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，

∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．

故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（　　）

A．3    B．2    C．2    D．﹣3

【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．

【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，

∴与的夹角为，

∴•=||•||•cos=2×2×=2，

∵M是线段AB的中点，

∴=（+），

∵=﹣，

∴•=（+）•（﹣）

=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，

故选：A

【点评】本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．

11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（　　）

A．﹣7    B．﹣6    C．﹣3    D．﹣1

【分析】由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，由f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=|cosπx|在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．

【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），

∴x=﹣1是函数的对称轴，

分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，

交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，

∴x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，

∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，

故选：A

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，数形结合是解决本题的关键，属中档题

12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，则tln的值为（　　）

A．4e2    B．8e    C．2    D．8

【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．

【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，

x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）

设切点为（m，n），则曲线C2：y=ex+1﹣1，y′=ex+1，em+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，

代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，

∴tln=4lne2=8．

故选D．

【点评】本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=　﹣2　．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，

则=﹣1，解得a=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容 异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为　　．

【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．

【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．

故答案为．

【点评】此题考查了梯形的面积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．

15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为　　．

【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．

【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，

的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率

联立，解得A（1，），

∴的最小值为=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=　　．

【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．

【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，

∴sin∠ACB=，

∴∠ACB=，或，

∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，

∴∠ACB=，

∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，

∴∠B=，

∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求∠ACB的值是解题的关键，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．

（I）证明数列{an+4}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．

【分析】（I）数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4，an+1+4=2（an+4），即可得出．

（II）由（I）可得：an+4=2n，可得an=2n﹣4，当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，可得n≥2时，Sn=﹣a1+a2+a3+…+an．

【解答】（I）证明：∵数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4，∴an+1+4=2（an+4），∴数列{an+4}是等比数列，公比与首项为2．

（II）解：由（I）可得：an+4=2n，∴an=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，

∴n≥2时，Sn=﹣a1+a2+a3+…+an=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）

=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．

∴Sn=2n+1﹣4n+2．n∈N*．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2017•云南一模）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．

已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．

（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．

（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．

甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，

乙校的合格率P2==96%．

可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．

（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．

X=0，1，2，3．

则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．

∴X的分布列为：

【点评】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．

（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．

【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，

图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，

∵G为BD中点，∴DG=2GH．

图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，

∴GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），

∵=λ，∴R（，，0），

∴=（，﹣，0），

∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），

设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），

∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，

∴=，

∴λ=，

∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．

【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（I）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

【分析】（I）由题意，直线l1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得kAM=kMN，A，M，N三点共线．

【解答】解：（I）由题意可知：右焦点F（1，0），E（5，0），M（3，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由直线l1的倾斜角为，则k=1，

直线l1的方程y=x﹣1，即x=y+1，

则，整理得：9x2+8﹣16=0．

则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，

△ABM的面积S，S=•丨FM丨•丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨==，

∴△ABM的面积S的值；

（Ⅱ）证明：设直线l1的方程为y=k（x﹣1），

则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0．

则x1+x2=，x1x2=，

直线BN⊥l于点N，则N（5，y2），

由kAM=，kMN=，

而y2（3﹣x1）﹣2（﹣y1）=k（x2﹣1）（3﹣x1）+2k（x1﹣1）=﹣k[x1x2﹣3（x1+x2）+5]，

=﹣k（﹣3×+5），

=0，

∴kAM=kMN，

∴A，M，N三点共线．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．

（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；

（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．

【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）问题等价于a＞，令h（x）=，x≥0，

唯一转化为求出a＞h（x）min，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），

∴g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，

当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，

此时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，

当2﹣a＜0即a＞2时，

由g′（x）＞0，得x＞ea﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜ea﹣2﹣1，

此时，g（x）在（0，ea﹣2﹣1）递减，在（ea﹣2﹣1，+∞）递增，

综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；

a＞2时，g（x）在（0，ea﹣2﹣1）递减，在（ea﹣2﹣1，+∞）递增，

（Ⅱ）由f（x）＜0，得（x+1）a＞xln（x+1）+x+2，

当x≥0时，上式等价于a＞，

令h（x）=，x≥0，

由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只需a＞h（x）min，

∵h′（x）=，

令u（x）=ln（x+1）+x﹣，显然u（x）在[0，+∞）递增，

而u（0）=﹣＜0，u（1）=ln2﹣＞0，

故存在x0∈（0，1），使得u（x0）=0，即ln（x0+1）=﹣x0，

又当x0∈[0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减，

当x∈[x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

故x=x0时，h（x）有极小值（也是最小值），

故h（x）min=，

故a≥=，x0∈（0，1），

而2＜＜3，

故a的最小整数值是3．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．

（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．

（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．

【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．

∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），

由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，

∴x2﹣4y=0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．

（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），

∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，

∴直线l的参数方程为，

代入x2=4y，得，

设A，B两点对应的参数为t1，t2，

∵Q为线段AB的中点，

∴点Q对应的参数值为，

又P（1，0），则|PQ|=||=3．

【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

（I）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；

（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

若f（x）≤6，则有或，

解可得﹣1≤x≤4，

故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；

（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，

分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；

则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，

2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；

即2a+b的最小值为．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值