概率统计习题

  习题一

一填空题

（1）设为三事件，试用的运算表示下列事件：中不多于两个发生： 中至少有两个发生： 

或

（2）设为二事件，试用的运算非别表示下列事件及其对立事件：都发生：其对立事件为

（2）设为二事件，则

注

（4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为。

注：：两件均不合格，：一件合格，两件中有一件是不合格品即；

两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即，故

（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。{10，11，……}

（6）假设，若与互不相容，则，若与相互，则

2甲乙丙三人各射一次靶，记“甲中靶”； “乙中靶”； “丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件

（1）甲未中靶：；

（2）甲中靶而乙未中靶

（3）三人中只有丙未中靶： 

（4）三人中恰好一人中靶： 

（5）三人中至少一人中靶

（6）三人中至少一人未中靶

（7）三人中恰好两人中靶： 

（8）三人中至少两人中靶

（9）三人中均未中靶： 

（10）三人中至多一人中靶

（11）三人中至多两人中靶

320个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队：

（1）被分在不同组的概率，；（2）被分在同一组的概率。

  或：因故

4从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。

5在长度为得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

且，又

6在区间内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。

7 电路由电池组与两个并联的电池组串联而成，设电池组损坏的概率分别为，求电路发生断电的概率是多少？（为相互工作的电池组）

  设分别表示电池组损坏，电路发生断电可表示为，故

7设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为，活到25年以上的概率为，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？

8某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为％，40年内发生特大洪水的概率为％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。

  发生特大洪水的时刻。

10 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率.

发出信号“.”       发出信号“__”

收到信号“.”;     收到信号“__”

由题设:于是:

由贝叶斯公式有: 

又由:于是:

由贝叶斯公式有: 

11 设袋中有个黑球，个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第次取出的一个球是黑球的概率。

（1）

（2）

12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％，

（1）全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少

（1）分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。抽出的一个是次品

（3）由贝叶斯公式有:

1310个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次红球的概率。

14灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

   记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

     X: 3个使用1000小时后坏了的只数。

则X～

15某人有两盒火柴，每盒中各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率。

注：可看作重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为，则相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故

习题二

1 填空题

（1）设随机变量X的分布律为）则

（2）设随机变量X的分布律为）则

（3）一均匀骰子在重复掷10次后，X表示点3出现的次数，则X服从：参数为的二项分布，分布律为）

（4）设随机变量X的概率密度为，Y表示对X的三次重复观察中事件出现的次数，则

（5）已知X～,则～

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。

  {报童赔钱}={0.15X<100}

3 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

4 进行重复试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为，

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。

（2）将试验进行到出现次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。

（1）第X次成功，前X-1次全失败。

（2）第Y次成功，前Y-1次成功r-1次。

5 设随机变量X的分布函数，试求（1）

6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为0.0001，在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）

7 …在t时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，……

（1）…中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。

（1）…中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。

（1）参数为在3小时内收到k次呼救的概率为： 

（1）参数为 

8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。

，（每个工作时内发生故障的概率）

X：100作时内发生故障的次数，～

9设X～现对X进行3次观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。

Y表示对X进行3次观察，观察值大于3的次数，则

Y～，

10 设随机变量X～求：（1）常数c,(2)X的分布函数，（3）X落在区间的概率。

（1）因

（2）当时

     当时，

当X时：

（3）

11 …服务时间X服从指数分布，其概率密度为

，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y的分布律，并求.

等待1次离开的概率为：

Y～

12 X～（1）求

（2）求使得

（1）

由得

，

又

13寿命X服从的正态分布，若要求，最大为多少？

  故最大为31.25。

14随机变量X的分布律为：

Y的所有可能取值为0，1，4，9，有概率的可加性，有：

故的概率密度

(2)因，则，

当时，

习题三

1.离散随机变量相互同分布， 求的概率.

.

   即使两个离散随机变量相互同分布,一般不会以概率1相等.

（2）设二维随机变量的概率密度

，则

（3）和是相互同分布的随机变量，且求的概率分布.

,   

（2）由已知易得  

2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，

每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量,如下：

试分别就（1）、（2）两种情况，写出和的联合分布律．并问随机变量和是

否相互？

 （1）放回时，

（2）不放回抽样，

   放回抽样时，两次抽样相互；不放回抽样，不相互．

3 设随机变量的联合密度

试求（1）常数；（2）

（1）因

4.随机变量在矩形域上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量及是否？

解 按题意具有联合概率密度

,  ,

及是的.

事实上,若服从区域上的均匀分布，则只有当为矩形区域：时，与分别服从上的均匀分布，且与，反之亦然.

5 一仪器由二个部件构成，以和分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数

（1）与是否？

（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率

（1）和的分布函数分别为

由于，故。

6 （1）求第二题中和的边缘分布，（2）与是否？

（1）由

知，放回与不放回的情形都是：

7 随机变量的分布函数为=.

求：（1）的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量及是否？

解 由分布函数的性质有=0=1

从而对任意的；有，

于是，有， 

，   。

8 设二维随机变量的概率密度函数为

=   

求边缘概率密度.

解 对任意， 

当或时,对任意，，

可知边缘概率密度为：

9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互的，试求两周需要量的概率密度.

   表第周的需求量，各相互。

设两周的需求量为，则

要

而

故

故

10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

  设为选取的第只电子管的寿命，则～

令则

[]，而

   因此

11.设随机变量相互同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件.且求常数

习  题  四

1填空：

（1）．设随机变量服从参数为的泊松分布，且求

（2）设随机变量同分布，期望为，方差，令，则

（3）设随机变量，在[0.6]上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布，记，则

2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互的)

设：Y: 取10件进行检验的次品数,

则

而

故

5．一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

售出设备一年内调换，表示调换费用。则： 

=

（元）

6．设的分布律如下表:

（1）的边缘分布见上表，故：

（2）

（3）

7．随机变量服从几何分布，其分布律为其中是常数.求

   =

===

   = 

=

= 其中“′”表示对的形式导数.

，

11  设随机变量服从指数分布：其中求.

解

12设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数.求

  ， 

13设同分布随机变量，期望为，方差，令，

（1）验证

（2）验证

（3）验证

（1），

=

（3）

     习题五

3．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗命中目标的概率.

第次轰炸命中目标的次数为,则同分布,且,命中的总次数, (近似)～,

4．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率．

   设老人死亡数为，公司亏本当且仅当　即，于是，，

亏本的概率：

．

5．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望(未知），方差.为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试（设测试是相互的）直到失败，测得其寿命为作为的估计.为了使问至少为多少？

习题六

1填空题

1 设总体X～是来自总体X的样本，则随机变量～～，～

（2）在正态总体中抽取2个样本，样本均值分别为，又样本容量分别为10，15，则

注：～～。

， 

故

（3）在正态总体中抽取16个样本，均未知，为样本方差，则

注： 

2设是来自总体的样本，求变量样本均值的数学期望与方差。

由于是来自总体的样本，故

，

，

5 X～～从2总体中抽样本，得下列数据： ；

，求

解：2总体方差相等，故～

，其中：，又， 

，所以

查表：，故

6总体X～是来自总体X的样本，（1）求的联合概率密度。（2）求的概率密度。

（1）（2）

   习题七

一 （1）设是来自总体的样本，为总体均值均值的无偏估计，则。

（2）设总体的一个容量为2的样本为总体均值均值的无偏估计，则和中较为有效。

（3）若由总体为未知参数）的样本观察值求得，则称是的置信度为的置信区间。

（4）设总体的均值未知，根据来自的容量为10的简单随机样本测得的样本均方差为则的方差的置信度为0.95的置信区间为。

2 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：

试求总体均值均值及方差的矩估计，

解：由P   令

故

3设是来自参数为的泊松分布总体～的一个样本，试求的极大似然估计和矩估计，

解：先求极大似然估计： 

，

令

再求矩估计：～，令

4设总体的概率分布为

解：矩估计：令

，

又

（抽样时，出现一次，出现两次，出现一次，出现四次，

5设是来自总体的一个样本，试求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的极大似然估计和矩估计，

（1）其中未知参数为

矩估计：令

极大似然估计

，

令

（2）其中未知参数为

矩估计：令

极大似然估计

，

令

6设是来自总体～的一个样本，试确定常数，使为的无偏估计。

解; (同分布于)

7 设总体的分布律为为未知参数，今从该总体中抽取一随机样本，求的矩估计。

令

8设总体～，样本观察值：

求总体均值的置信度为0.95的置信区间

（1）已知    （2）未知

（1）由      页 ，的置信度为的置信区间为

查表

（2）未知，由      页 ，的置信度为的置信区间为

查表

10随机地从批导线中抽取4根，又从批导线中抽取5根，测得电阻为：

批导线：0.143，0.142，0.143，0.137

批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140

 设测定数据分别来自分布，且两样本相互，又均为未知，试求的置信度为0.95的置信区间

解：由题中条件有

由  页  式  ，的置信度为的置信区间为

10  9发炮弹作试验，炮口速度的样本标准差……，求的置信度为0.95的置信区间

解：～，故：

查表，所以