2022年西城区高三一模数学试题+答案

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第1页（共8页）

西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷

数学答案及评分参考 2022.4

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（ 1 ）A （ 2 ）B （ 3 ）D （ 4 ）C （ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）D （ 9 ）B （10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）2 （12）124

（13）若1A F BE ⊥，则2ADF ABF S S =△△；若2ADF ABF S S =△△，则1A F BE ⊥.

（14）①13 ②36 （15）①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）在中，

因为cos a B c =,

所以由正弦定理可得sin cos sin .A B B C = 因为A B C ++=π，所以.

cos sin B A B =. 在ABC △中，sin 0B ≠，

所以cos A 6A π= . ┄┄┄┄┄┄ 6分

（Ⅱ）选条件①：

因为在ABC △

中，cos B =

，

所以sin B ==. 因为A B C ++=π，

所以1sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=. ABC △sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考

设BC 边上高线的长为h ，则

sin 1h b C ===. ┄┄┄┄┄┄13分 选条件②：ABC △不唯一.

选条件③：

由余弦定理得 2222cos 932336a b c bc A π=+-=+-⨯=， 所以a 所以ABC △为等腰三角形，6C A π==

. 设BC 边上高线的长为h ，则

13sin 322h b C ==⨯=. ┄┄┄┄┄┄13分

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，//AB CD .

因为⊄AB 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，

所以//AB 平面CDE .

因为⊥PA 平面ABCD ，⊥DE 平面ABCD ，

所以//PA DE

因为⊄PA 平面CDE ，⊂DE 平面CDE ，

所以//PA 平面又因为⊂PA 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，PA

AB A =. 所以平面//PAB 平面CDE .

因为⊂BF 平面PAB ，

所以//BF 平面CDE . ┄┄┄┄┄┄ 4分 （Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，

所以⊥PA AD ，⊥PA AB .

又因为ABCD 是矩形，⊥AD AB ，

所以,,AD AB PA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系-A xyz ， 则(1,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,1)E ，

所以(1,0,1)=-CE ，(0,2,1)=-PE .

设平面PEC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第3页（共8页）

0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩CE PE n n 即0,20.

-+=⎧⎨-=⎩x z y z 令2=x ，则1=y ，2=z .

于是(2,1,2)=n .

取平面PEA 的法向量为(1,0,0)=m .

则2cos ,||||3

⋅〈〉==m n m n m n . 由图可知二面角C PE A --为锐角，

所以二面角C PE A --的余弦值是23. ┄┄┄┄┄┄10分 （Ⅲ）令线段AF 的长为t ，则(0,0,)F t ，[0,2]t ∈.

所以(1,2,)=--CF t ，

因为点F 到平面PCE

的距离24

||3CF t d ⋅-===n

n . 所以24

133

t -=，即241t -=. 解得32t =或52

t =（舍）. 所以线段AF 的长为32. ┄┄┄┄┄┄14分

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（18）（共13分）

解：（Ⅰ）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件A ，

由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人， 所以201()603P A ==. ┄┄┄┄┄┄ 3分 （Ⅱ）由题意可知，0,1,2,3.X =

3

18(0)1327P X ⎛⎫==-= ⎪⎝

⎭； 21

31212(1)3327P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭； 2

2

3126(2)3327P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭； 311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

. 随机变量X 的分布列为

. ┄┄┄┄┄┄10分 （Ⅲ）213D D D ξξξ<<.

┄┄┄┄┄┄13分 （19）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，c e a ==， 解得2a =，1b =，

所以椭圆C 的方程为2

214x y +=. ┄┄┄┄┄┄ 4分

（Ⅱ）由2

21,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩

得 222(41)8440k x kmx m +++-=， 由222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，得22410k m -+>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841

km x x k +=-+， 812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=

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212122282()224141

k m m y y k x x m m k k +=++=-+=++. 所以点M 的横坐标1224241M x x km x k +=

=-+， 纵坐标122241

M y y m y k +==+. 所以直线MN 的方程为22144141m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭

. 令0x =，则点N 的纵坐标2341N m y k =-

+ 所以 230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝

⎭. 因为(0,)P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.

因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠， 所以OM ON =. 又因为222222222241141(41)km m k m m OM k k k +⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

， 222

2223941(41)m m ON k k ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭

， 所以2222

2222169(41)(41)k m m m k k +=++， 解得21619k +=，

所以2k =±

. ┄┄┄┄┄┄15分

（20）（共15分） 解：（Ⅰ）若，则，. ①在处，. 所以曲线在处的切线方程为. ┄┄┄┄┄┄ 4分 ②令()e 1e x x g x x =+-， 在区间(0,)+∞上，则在区间(0,)+∞上是减函数. 又(1)10,g =>2(2)e 10,g =-+<，

所以在(0,)+∞上有唯一零点.

1a =()1e 1x x f x =-+2

e 1e ()(e 1)x x

x x f x +-'=+0x =2111(0)(11)2

f +'=

=+(0)1f =-()y f x =0x =112

y x =-()e x g x x '=-()0g x '<()g x ()g x 0x

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()'f x 与()f x 的情况如下：

所以在(0,)+∞上有唯一极大值点.

┄┄┄┄┄┄ 9分

（Ⅱ）e ()e x x ax a

f x a

--=+，

令，则.

①若，则，在上是增函数. 因为，

所以恰有一个零点.

令，得.

代入，得， 解得.

所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为.

当时，在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当时，在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以. 又，

由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是.

┄┄┄┄┄┄15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）{}n a ，{}n c .

┄┄┄┄┄┄ 5分

（Ⅱ）若0d =，则由①可知2

11a a =，所以10a =∈Z 或11a =∈Z ，且公差0d =∈N .

以下设0d ≠.由①，*1213,,,k l k l a a a a a a ∃∈==N ， 两式作差得1321()()l k l k d a a a a a a d -=-=-=， 因为0d ≠，所以1a l k =-∈Z . 由①，*2324,,,m n m n a a a a a a ∃∈==N ，

0()e x h x a ax =+-()e x

h x a '=-0a <()0h x '>()h x R 1

1(e 1)0a h a a ⎛⎫

=-+< ⎪⎝⎭

(1)e 0h =>()h x 0x 0e 0x

a +=0ln()x a =-0()0h x =ln()0a a a a -+--=1a =-1a =-()h x ()f x 0a >()f x R ln x a <()0h x '<()h x ln x a >(0h '>()h x min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-(0)10h a =+>2ln 0a a a ->20e a <<()f x a 2{1}

(0,e )-

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第7页（共8页）

两式作差得2432()()n m n m d a a a a a a d -=-=-=， 因为0d ≠，所以2a n m =-∈Z . 因此，21d a a =-∈Z .

若0d <，则等差数列{}n a 是递减数列，由①21a 为{}n a 中的项，因此，2

11a a ≤，

解得101a ≤≤， 由1a ∈Z 且公差d ∈Z ，

所以10a =或1，1d -≤，41313(1)2a a d =++⨯-=-≤，

由①，24a 为{}n a 中的项，且2241(2)4a a -=>≥，

这与等差数列{}n a 递减矛盾， 因此，0d <不成立. 综上，1a ∈Z 且公差d ∈N .

┄┄┄┄┄┄10分

（Ⅲ）因为公差*d ∈N ，所以1d ≥，即{}n a 是递增数列.

若10a <，因为1a ∈Z ,所以*113,2a a --∈N ， 则131111(2)(2)2-=+-+-=a a a a d a a ≥，且1

131

12a a a a a -<≤，

由①113a a a -为{}n a 中的项，这与等差数列{}n a 是递增数列矛盾. 因此，10a ≥，又由（Ⅱ）1a ∈Z ，故1a ∈N .

由1a ∈N ,*d ∈N 知，*,0n n a ∀∈N ≥且{}n a 中存在一项为正整数， 取最小的正整数项k a .

则由②，*,i j ∃∈N ，使得i j k a a a =且1i k

a a ≥≥，1j k a a ≥≥.

因此2k i j k a a a a =≥，解得1k

a ≤，又*k

a ∈N ，故1k a =.

因为{}n a 是递增数列，

（ⅰ）若10a =，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-. 因为*,i j ∀∈N ，(1)(1)1i j a a i j ij i j =--=--+， 令2k ij i j =--+，有*k ∈N ，且i j k a a a =. 所以{}n a 满足条件①.

因为*k ∀∈N ，令2i =，j k =有21i j k k k a a a a a a ==⨯=. 所以{}n a 满足条件②.

（ⅱ）若10a ≠，则11k a a ==，1(1)n a n d =+-.

西城区高三统一测试试卷数学答案及评分参考2022.4 第8页（共8页）

因为*,i j ∀∈N ，11((1))((1))i j a a a i d a j d =+-+-

2211(2)(1)(1)a i j da i j d =++-+--

1((2)(1)(1))a i j i j d d =++-+--.

令(2)(1)(1)1k i j i j d =+-+--+，则*k ∈N ，且i j k a a a =. 所以{}n a 满足条件①.

因为*k ∀∈N ，令1i =，j k =，有11i j k k k a a a a a a ==⨯=. 所以{}n a 满足条件②.

综上，1n a n =-或1(1)n a n d =+-.

┄┄┄┄┄┄15分