导数恒成立,能成立问题专题讲解

学习目标：

1、理解“任意”，“存在”的意义，并加以区别；

2、能熟练的把与导数有关的常见“恒成立”，“能成立”问题转化为函数的最值问题；

3、在解题过程中提高对“转化化归”分类讨论、函数方程等数学解题思想方法的应用能力，树立解决导数综合题的信心。

基础再现：

1、（2013全国卷）若函数=在上是增函数，则的取值范围是（  ）

A      D  

2、若曲线= 存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是            。

3、若函数=有极大值和极小值，则的取值范围是            。

4、已知=，=.

(1) 若，总有>成立，则实数的取值范围是            。

(2) 若，总有>成立，则实数的取值范围是            。

(3) 若，使>成立，则实数的取值范围是            。

(4) 若，使>成立，则实数的取值范围是            。

(5) 若，使>成立，则实数的取值范围是            。

总结：

1、导数与不等式的问题，一般都可转化为极值最值问题解决。

2、区间上不等式的12种类型及其解决方法：

例1、已知向量 曲线在点（1，）处的切线与y轴垂直，

（1）求k的值及的单调区间和最大值

（2）已知函数=().若求的最大值.

变式1、已知函数=().若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围.

变式2、已知函数=().求证：对于任意，总存在使得，对恒成立.

例2、已知函数=如果存在，使得 成立，求满足条件的最大整数M.

例3、已知函数

（1）求的单调区间；

（2）若对于任意，都有，求k的取值范围.

与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题--突破练习

1、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是            .

2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是            .

3、对，函数在区间上不单调，则实数的取值范围是            .

4、已知函数，函数的导函数，且

（1）求函数的极值；

（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（3）当=0时，对，求证：

5、已知函数

（1）求函数的零点个数；

（2）函数，若函数在内有极值，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下对任意，求证：

6. 已知函数.

（1）当时，求的极值；  

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.

解：（1）当时，………   1分

由,解得. ………………………   2分

∴在上是减函数，在上是增函数.………………………   3分

∴的极小值为，无极大值.………………………   4分

（2）.…6分

当时，在和上是减函数，在上是增函数；………7分

当时，在上是减函数； ………………………   8分

当时，在和上是减函数，在上是增函数.…9分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.………………………   10分

由对任意的恒成立，

∴ ………………………   11分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立， ………………………   12分

由于当时，，∴.………………………   13分

7.设，．

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

（II）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（III）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为.   　　　  ……………3分

（Ⅱ）存在，使得成立

等价于：，

考察，，

，

所以满足条件的最大整数.                        ……………7分

（Ⅲ）对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

      由（Ⅱ）知，在区间上，的最大值为.

，下证当时，在区间上，函数恒成立.

当且时，，

记，，   

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即，

所以当且时，成立，

即对任意，都有.                 ……………12分

 方法二：当时，恒成立

等价于恒成立，

记，，   

记，，由于，

,   所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以.   ……………12分