常微分方程练习题及答案

 1. 方程是     阶        （线性、非线性）微分方程.

2. 方程经变换，可以化为变量分离方程               .

3. 微分方程满足条件的解有         个.

4. 设常系数方程的一个特解，则此方程的系数       ，         ，         .

5. 朗斯基行列式是函数组在上线性相关的            

                    条件.

6. 方程的只与有关的积分因子为                   .

7. 已知的基解矩阵为的，则               .

8. 方程组的基解矩阵为　　　　　　　　　　　． 

9.可用变换               将伯努利方程 化为线性方程.   

10 .是满足方程 和初始条件           的唯一解.  

11.方程 的待定特解可取          的形式:       

12. 三阶常系数齐线性方程 的特征根是                            

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 

2．求解方程. 

3. 求解方程      。

4．用比较系数法解方程. .    

5．求方程 的通解. 

6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.  

7．设  ，  ，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解. 

8. 求方程  通过点 的第二次近似解.

9.求                     的通解

10.若                               试求方程组的解   并求expAt

三、证明题

1. 若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.

2. 设是积分方程

的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.

3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: 

(i)  和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); 

(ii)  和 没有共同的零点;

(iii) 和 没有共同的零点.

4.试证：如果是满足初始条件的解，那么

.

答案

一.填空题。

1. 二，非线性     2.，      3.无穷多    4.

5.必要     6.      7.      8.       9.     

 10.           11.

12.  1, 

二、计算题

 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 

解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意

可得如下初值问题: 

.                                 分离变量, 积分并整理后可得 .            

 代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .

2.求解方程. 

解：由 求得    令  

则有 令，解得,积分得,

故原方程的解为 . 

3. 求解方程   

解  令，直接计算可得，于是原方程化为  ，故有或，积分后得，即，所以   　就是原方程的通解，这里为任意常数。

4.用比较系数法解方程. .   

解：特征方程为 , 特征根为 .  

对应齐方程的通解为 .              

 设原方程的特解有形如                      

代如原方程可得

利用对应系数相等可得 , 故 .                 

 原方程的通解可以表示为( 是任意常数)

 . 

5.求方程 的通解. 

解：先解得通解为,          令为原方程的解，            

代入得,      即有,                    

 积分得 ,     所以 为原方程的通解.  

6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.

解：由于，因为所以原方程为恰当方程. 

把原方程分项组合得,

或写成,  故原方程的通解为.

7．设  ，  ，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解. 

解：特征方程为 

求得特征值,对应的特征向量分别为 

可得一个基解矩阵 ，又因为 ，                          

于是，所求的解为   

8. 求方程  通过点 的第二次近似解.

解: 令，于是 

9.求                            的通解

解：方程可化为    ，           令则有（*），

（*）两边对y求导得，

即，由得，即.

将y代入（*）得，

即方程的 含参数形式的通解为：，p为参数；

又由得代入（*）得 也是方程的解 .   

10.若                                           试求方程组的解   并求expAt

解：特征方程，解得，此时 k=1。

， 

由公式expAt=  得

三、证明题

1. 若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.

证：是基解矩阵，故存在，令 ，

则可微且，易知.    

所以                   而，所以,            

（常数矩阵），故 .

2. 设是积分方程

的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.

证明：由题设，有

，.

   下面只就区间上讨论，对于的讨论完全一样。

因为      其中，

所以

其中,   设对正整数有,则有

    ,

故由归纳法，对一切正整数，有

.     

而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当时，它,

因而函数序列在上一致收敛于.根据极限的唯一性, 即得

,   .         

 3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: 

(i)  和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); 

(ii)  和 没有共同的零点;

(iii) 和 没有共同的零点.

证明: 和 的伏朗斯基行列式为

                                    因 和 是基本解组, 故.    

若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即

  最多只能有简单零点. 同理对 有同样的性质, 故(i)得证.     

   若存在 , 使得 , 则由行列式性质可得 , 矛盾. 即  与 无共同零点. 故(ii)得证.  

  若存在 , 使得 , 则同样由行列式性质可得 , 矛盾. 

即 与 无共同零点. 故(iii)得证.   

4.试证：如果是满足初始条件的解，那么

.证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得：，              

令，则：，         所以 ，             

故