2016届高考物理一轮复习讲义：4.1曲线运动 运动的合成与分解(人教版)

(1)从近三年高考试题考点分布可以看

出，高考对本章内容的考查重点有：平抛运

动、圆周运动与牛顿运动定律的综合，万有引

力定律与实际航空、航天问题的综合(如天体

质量、密度的估算，卫星的发射、运行、变轨

问题等)。

(2)本部分内容的考查题型较全，既有选

择题，又有计算题，对抛体运动、圆周运动、

万有引力定律的应用的直接考查，一般为选择

题；平抛运动、圆周运动规律与其他知识的综

合应用，一般以计算题的形式考查。

2015高考考向前瞻(1)运动的合成与分解、平抛运动规律、圆周运动规律、万有引力定律在航天科技方面的应用仍将是本章命题的热点。

(2)平抛运动、圆周运动规律与牛顿运动定律、万有引力定律、功能关系、电磁学知识相结合，与生产、生活、科技背景相联系，将是2015年高考命题的趋势。

第1节曲线运动__运动的合成与分解

曲线运动

[想一想]

如图4－1－1是一位跳水运动员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中在哪几个位置头部的速度方向与入水时v的方向相同？在哪几个位置与v的方向相反？把这些位置在图中标出来。

图4－1－1

提示：头部的速度方向为头部运动轨迹在各点的切线方向，如图所示，A、C两位置头部速度方向与v方向相同，B、D两位置头部速度方向与v方向相反。

[记一记]

1．速度方向

质点在某一点的瞬时速度的方向，沿曲线上该点的切线方向。

2.  运动性质

做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。

3．曲线运动的条件

(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。

(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。

[试一试]

1.(2014·苏锡常镇徐连调研)在xOy平面内，一质点仅在恒力F作用下由原点O运动到A点，其轨迹及在O点、A点的速度方向如图4－1－2所示，则F的方向可能沿(　　)

图4－1－2

A. y轴正方向　　　    　        B．y轴负方向

C. x轴正方向                  D. x轴负方向

解析：选C　质点做曲线运动时，物体受到的合力方向指向曲线的凹侧，并且与速度不在同一直线上，所以C正确。

运动的合成与分解

[想一想]　

如图4－1－3所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v。若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a。

图4－1－3

请思考：红蜡块实际参与了哪两个方向的运动？这两个运动的合运动轨迹是直线还是曲线？与图中哪个轨迹相对应？

提示：红蜡块沿竖直方向做匀速直线运动，沿水平方向做匀加速直线运动，此两运动的合运动为曲线运动，运动轨迹为图中的曲线AQC。

[记一记]

1．基本概念

分运动合运动

2．分解原则

根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。

3．遵循的规律

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为代数运算。

(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4－1－4所示。

图4－1－4

(3)两个分运动垂直时的合成满足：

a合＝

s合＝

v合＝

[试一试]

2．某质点的运动速度在x、y方向的分量vx、vy与时间的关系如图4－1－5所示，已知x、y方向相互垂直，则4 s末该质点的速度和位移大小各是多少？

图4－1－5

解析：4 s末该质点在x方向上，vx＝3 m/s，

sx＝vxt＝12 m

在y方向上，vy＝4 m/s，a＝＝1 m/s2，sy＝at2＝8 m

所以v合＝＝5 m/s

s合＝＝4 m。

答案：5 m/s　4 m

考点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析

[例1]　(多选)一小球在光滑水平面上以某速度做匀速直线运动，运动途中受到与水平面平行的恒定风力作用，则小球的运动轨迹可能是(　　)

图4－1－6

[解析]　选ABC　因不知对小球的水平风力的具体方向，故轨迹有多种可能，A、B、C均有可能，因小球运动轨迹一定于小球速度方向相切，不可能出现如图D中折线，故D错误。

[例2]　(多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做(　　)

A．加速度大小为的匀变速直线运动

B．加速度大小为的匀变速直线运动

C．加速度大小为的匀变速曲线运动

D．匀速直线运动

[解析]　选BC　选物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动，必有F3与F1、F2的合力等大反向，当F3大小不变，方向改变90°时，F1、F2的合力大小仍为F3，方向与改变方向后的F3夹角为90°，故F合＝F3，加速度a＝＝，若初速度方向与F合方向共线，则物体做匀变速直线运动，若初速度方向与F合方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，故B、C正确。

考点二合运动的轨迹与性质判断

[例3]　以下说法正确的是________。

(1)分运动与合运动的运动时间是相同的

(2)合运动的速度为各分运动速度大小之和

(3)两个直线运动的合运动一定为直线运动

(4)两个匀速直线运动的合运动一定为直线运动

(5)两个匀变速直线运动的合运动一定为匀变速直线运动

(6)两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动一定为匀变速直线运动

[答案]　(1)(4)(6)

(1)合运动类型

(2)两个直线运动的合运动性质的判断

根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：

1．小船过河问题分析思路

合运动：小船的实际运动

运动的 分解

分运动二：船相对于静水的划行运动

分运动一：船随水漂流的运动

船在静水中的划行速度v1

水流的速度v2

运动的 合成

船相对于岸的实际速度v

2．三种速度

v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。

3．三种过河情景分析

(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。

(2)过河路径最短(v2(3)过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图4－1－7所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。

图4－1－7

由图可知cos α＝，最短航程x短＝＝d。

[例4]　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。

(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

[思路点拨]

(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？此指向与v2和v1的大小关系有关吗？

提示：船头朝正对岸；无关。

(2)欲使渡河的航程最短，船的实际速度一定与河岸垂直吗？此时应如何确定船头指向？

提示：不一定；结合例题前要点讲解分析。

[解析]　将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移。

(1)若v2＝5 m/s。

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s。

甲

t＝＝＝s＝36 s，

v合＝＝ m/s，

x＝v合t＝90 m。

②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。

垂直河岸过河要求v水平＝0，如图乙所示，有v2sin α＝v1，得α＝30°。

所以当船头与上游河岸成60°时航程最短。

乙

x＝d＝180 m。

t＝＝＝s＝24 s。

(2)若v2＝1.5 m/s。

与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝。欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。

丙

sin α＝＝，得α＝37°。

所以船头应朝上游与河岸成53°方向。

t＝＝s＝150 s。

v合＝v1cos 37°＝2 m/s

x＝v合·t＝300 m。

[答案]　(1)①船头垂直于河岸　36 s　90 m

②船头与上游河岸成60°夹角　24 s　180 m

(2)船头与上游河岸成53°夹角　150 s　300 m

解决小船过河问题应注意的两个问题

(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。

(2)船渡河位移最短值与v船和v水大小关系有关，v船>v水时，河宽即为最短位移，v船

1．“关联速度”特点

用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。

2．常用的解题思路和方法

先确定合运动的方向(物体实际运动的方向)，然后分析这个合运动所产生的实际效果(一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，且沿绳或杆方向的分速度大小相同)。

[典例]　(多选)如图4－1－8所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)

图4－1－8

A．vA>vB

B．vAC．绳的拉力等于B的重力

D．绳的拉力大于B的重力

[解析]　小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图4－1－9所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB图4－1－9

[答案]　AD

[题后悟道]　

(1)运动的分解是按运动的实际运动效果进行分解的。

(2)在分析用绳或杆相连的两个物体的速度关系时，均是将物体的速度沿绳或杆和垂直于绳或杆的方向进行分解。

(3)沿绳或杆方向的分速度相等，列方程求解。

(2014·常州市第一中学质检) 在岛上生活的渔民，曾用如图4－1－10所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则(　　)

图4－1－10

A．绳对船的拉力逐渐增大　　        B．船所受水的浮力保持不变

C．岸上人拉绳的速度保持不变      D．岸上人拉绳的速度逐渐增大

解析：选A　设绳与水平方向的夹角为θ，以船为研究对象，船受到重力mg、绳拉力T、阻力f、水的浮力F，在水平方向上有Tcos θ＝f，在竖直方向上有Tsin θ＋F＝mg，由于船在靠近河岸的过程中，θ增大，而f不变，故T增大，F减小，A正确，B错误。设船的速度为v，则人拉绳子的速度为vcos θ，故人拉绳的速度逐渐减小，C、D错误。

[随堂对点训练]

1.(2013·常州模拟)如图4－1－11所示，光滑水平桌面上，一小球以速度v向右匀速运动，当它经过靠近桌边的竖直木板ad边前方时，木板开始做自由落体运动。若木板开始运动时，cd边与桌面相齐，则小球在木板上的投影轨迹是(　　)

图4－1－11

图4－1－11

解析：选B　小球相对木板在水平方向上向右做匀速直线运动，在竖直方向上向上做加速度大小为g的匀加速直线运动，结合平抛运动的知识可以判知小球在木板上的投影轨迹应为向上偏折，故B正确。

2．如图4－1－12，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)

图4－1－12

A．vsin α　　　　    B. 

C．vcos α      D. 

解析：选C　如图把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由三角形知识，v船＝vcos α，故C正确，A、B、D错误。

3．(多选)一质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图4－1－13所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图中的(　　)

图4－1－13

A．F1的方向

B．F2的方向

C．F3的方向

D．F4的方向

解析：选CD　由合外力方向一定指向轨迹凹侧可知A错误；因沿＋y方向速度到A点时减小到0，故恒力方向可能为F3、F4方向，不可能为F2方向。

4．(2014·张家港模拟)如图4－1－14所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为(　　)

图4－1－14

A．水平向左，大小为v

B．竖直向上，大小为vtan θ

C．沿A杆斜向上，大小为

D．沿A杆斜向上，大小为vcos θ

解析：选C　两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝，故C正确。

5．有一个质量为2 kg的质点在x­y平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图4－1－15所示，下列说法正确的是(　　)

图4－1－15

A．质点所受的合外力为3 N

B．质点的初速度为3 m/s

C．质点做匀变速直线运动

D．质点初速度的方向与合外力方向垂直

解析：选A　由题图可知，ax＝1.5 m/s2，ay＝0，vy＝－4 m/s，故质点的合外力F＝max＝3 N，方向沿＋x方向，质点的初速度为v0＝m/s＝5 m/s，方向不与合外力方向垂直，质点做曲线运动，故只有A正确。

[课时跟踪检测]

一、单项选择题

1．“神舟”十号飞船于2013年6月11日发射升空，如图1所示，在“神舟”十号靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小。在此过程中“神舟”十号所受合力的方向可能是(　　)

图1

图2

解析：选C　因飞船由M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，故其合力指向轨迹凹侧，且与速度方向夹角大于90°，故只有C正确。

2．(2014·佛山高三质量检测)如图3所示，起重机将货物沿竖直方向匀加速吊起，同时又沿横梁水平匀速向右运动。此时，站在地面上观察，货物运动的轨迹可能是图4中的(　　)

图3

图4

解析：选C　货物向右匀速运动，向上匀加速运动，其运动轨迹为曲线，并且是抛物线，曲线应向加速度方向弯曲，故C正确。

3．(2014·长沙模拟)如图5所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为(　　)

图5

A．2 m/s　　　　　　　    B．2.4 m/s

C．3 m/s      D．3.5 m/s

解析：选B　如图所示，当v船⊥v合时，v船最小，v船＝v水sin 37°＝2.4 m/s。

4．(2014·泰州模拟)小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图如图6所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则(　　)

图6

A．航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短

B．航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短

C．航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短

D．航线图丁是不正确的，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线

解析：选A　根据图甲，小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故A正确；根据平行四边形定则，知合速度的方向正好垂直河岸，过河的位移最小，故B错误；由于河水的流动，因此不可能出现图丙航线，故C错误；由平行四边形定则，知合速度应在两分速度之间，且合速度大小及方向一定，故D错误。

5．一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图7所示，云层底面距地面高h，探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是(　　)

图7

A．hω      B. 

C.      D．hω tan θ

解析：选C　当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点转动的线速度为。设云层底面上光点的移动速度为v，则有vcos θ＝，解得云层底面上光点的移动速度v＝，选项C正确。

6．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿＋x轴方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿＋y轴方向的力F2＝24 N作用了1 s，则质点在这3 s内的轨迹为(　　)

图8

解析：选D　由F1＝max得ax＝2 m/s2，质点沿x轴匀加速直线运动了2 s，x1＝axt12＝4 m，vx1＝axt1＝4 m/s；之后质点受F2作用而做类平抛运动，ay＝＝6 m/s2，质点再经过1 s，沿x轴再运动，位移x2＝vx1t2＝4 m，沿＋y方向运动位移y2＝ayt22＝3 m，对应图线可知D项正确。

二、多项选择题

7．(2013·上海高考)如图9为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上。由于缆绳不可伸长， 因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的(　　)

图9

A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间

B．速度大小一定不小于A、B的速度大小

C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外

D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内

解析：选BD　C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，C的速度vc应等于vA和vB的矢量和，即以vA和vB为邻边作平行四边形，其对角线即为vC，由于vA和vB成锐角，所以vC大于vA及vB，故A错误，B正确，vC的方向为平行四边形对角线的方向，所以一定在CA和CB的夹角范围内，故C错误，D正确。

8．(2014·东北师大附中高三月考)如图10所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时(　　)

图10

A．人拉绳行走的速度为vcos θ

B．人拉绳行走的速度为v/cos θ

C．船的加速度为

D．船的加速度为

解析：选AC　船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－Ff＝ma，得a＝，C对，D错。

9．(2014·江苏省滨海中学模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图11所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)

图11

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

解析：选BC　水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A错误，C正确。运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确，D错误。

10．一质量为2 kg的物体在5个共点力作用下做匀速直线运动。现同时撤去其中大小分别为10 N和15 N的两个力，其余的力保持不变。下列关于此后该物体运动的说法中，正确的是(　　)

A．可能做匀减速直线运动，加速度大小为10 m/s2

B．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小为5 m/s2

C．可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能为5 m/s2

D．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能为10 m/s2

解析：选AC　物体在5个共点力作用下处于平衡状态，合力为零，当撤去10 N和15 N的两个力时，剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向，即撤去力后5 N≤F合≤25 N，2.5 m/s2≤a合≤12.5 m/s2，由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上，所以可能做匀变速曲线运动，也可能做匀变速直线运动，故A、C正确。

三、非选择题

11．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图像如图12所示。

图12

(1)判断物体的运动性质；

(2)计算物体的初速度大小；

(3)计算物体在前3 s内和前6 s内的位移大小。

解析：(1)由题图可知，物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀变速运动，先减速再反向加速，所以物体做匀变速曲线运动。

(2)vx0＝30 m/s，vy0＝－40 m/s

v0＝＝50 m/s

(3)x3＝vxt＝90 m

|y3|＝||t＝60 m

则s1＝＝30 m

x6＝vxt′＝180 m

y6＝t′＝×6 m＝0

则s2＝x6＝180 m。

答案：(1)匀变速曲线运动　(2)50 m/s　(3)30 m　180 m

12．如图13所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形，g＝10 m/s2)求：

图13

(1)小球在M点的速度v1；

(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；

(3)小球到达N点的速度v2的大小。

解析：(1)设正方形的边长为s0。

竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1

水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1。

解得v1＝6 m/s。

(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)。

(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，

水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，

故v2＝＝4  m/s。

答案：(1)6 m/s　(2)见解析图　(3)4 m/s