2013华约自主招生数学试题及答案详解

2013-03-16

(时间90分钟,满分100分)

1.(10分)集合,为的子集,若集合中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9

(1)中两位数有多少？三位数有多少？

(2)中是否有五位数？六位数？

(3)若将集合的元素按从小到大的顺序排列,第个数为多少？

【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),

(4,5),中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.

(1)两位数有个;

  三位数有个;

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;

(3)四位数共有个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有个,因此第1081个元素是4012.

2.(15分),,求与的值

【解】由……①,……②,平方相加得;

另一方面由①可得……③

由②式可得……④,由③/④式得,

也所以即求.

3.点在上,点在上,其中,,且在轴同侧.

(1)求中点的轨迹;

(2)曲线与相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.

【解】(1)设,,

则,

由得,,显然,

于是得,于是中点的轨迹是焦点为,实轴长为2的双曲线.

(2)将与联立得,

  由曲线与抛物线相切,故,即,

  所以方程可化为,即切点的纵从标均为,代入曲线得

横坐标为即求.因此切点分别在定直线上,

两切点为,又因为,于是

在处的切线方程为,即;

同理在处的切线方程为.

4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.

(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;

(2)求所取出球中黑球个数的分布列及期望;

(3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;

【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为;

(2)易知的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,,

  ,,,

  所以其数学期望为

(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为,无须繁杂计算)

(3)取出四个球同色,全为黑色的概率为即求.

5. (15分)数列均为正数,且对任意满足为常数).

(1) 求证:对任意正数,存在,当时有;

(2)设,是数列的前项和,求证:对任意,存在,当时,.

【证明】:(1)因为对任意的满足,所以,又因为,

 所以,

 所以

 故对任意的正整数,存在,当时有;

(注:表示不超过的最大正整数.)

(2)由可得,,

  所以;

  也所以,即

  且由(1)知,所以,

  即对任意,存在,当时,有.

6. (15分)已知是互不相等的正整数,,求.

【解】本题等价于求使为整数的正整数,由于是互不相等的正整数,因此,不失一般性不妨设,则,于是,结合为正整数,故,

  当时,,即,于是,所以,

  但另一方面,且为正整数,所以矛盾,不合题意.

  所以,此时,于是,即,

  也所以,所以,又因为,所以;

  于是,所以,即,又因为,所以,

经检验符合题意,于是符合题意的正整数有

=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)

注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.

7. (15分)已知

求证:(1)当,;

(2)数列满足,求证:数列单调递减且.

【解】(1)当时,,所以在上递减,所以.

(2)由得,结合,及对任意,利用数学归纳法易得对任意正整数成立,由(1)知,即,

  即,因为,所以,即,所以数列递减,

  下面证明,用数学归纳法证,设,则,

  由(1)知当时,,即,故在递增,由归纳假设

  得,要证明只需证明,即,

  故只需证明,考虑函数,因为当时,

所以,故在上递增,又,

所以,即,由归纳法知,对任意正整数成立.

注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.