广西五市2024年高考数学试题全真模拟密押卷(十)

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．

12

B ．5

C ．

52

D ．5

2．已知双曲线2222:1x y a b

Γ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22

:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的

面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）

A ．2

B ．

23

3

C ．

73

D ．

213

3．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫

⎪⎝⎭

，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）

A ．12P P <

B ．12P P >

C ．12P P =

D ．大小关系不能确定

4．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．

2

3

，-2 B ．2

3

-

，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2

6．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +

B ．1i -

C ．i

D ．i -

7．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若

||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为

A ．2

B ．31+

C ．5

D ．51-

8．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．22

9．若双曲线22214x y b -=的离心率7

2

e =

，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23

B ．2

C ．3

D ．1

10．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）

A ．58

B ．57

C ．56

D ．55

11．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）

A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 12．已知i 是虚数单位，则复数2

4

(1)i =-（ ）

A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．边长为2的菱形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 相交于点F ,若60BAD ∠=︒,则BE EF ⋅=______.

14．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B 、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.

15．已知函数()()ln ()ln x

x e ax e x f x x ax

--=

-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________．

16．已知数列{}n a 满足121

1,3

a a ==

对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x y αα

⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若射线θβ=02πβ⎛

⎫

<< ⎪⎝

⎭

与曲线1C 交于O ，A 两点，

与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取最大值时tan β的值

18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111a b ==，

53a S =，4415a b +=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n S T n ⋅⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和. 19．（12分）如图，平面四边形ABCD 中，//,90,120BC AD ADC ABC ︒

︒

∠=∠=，E 是AD 上的一点，

2,AB BC DE F ==是EC 的中点，以EC 为折痕把EDC △折起，使点D 到达点P 的位置，且PC BF ⊥.

（1）证明：平面PEC ⊥平面ABCE ； （2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.

20．（12分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．

（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．

（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21

21

，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．

21．（12分）已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2

2

31x y -+=，椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的

右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N .当12

7

AN AM =

时，求直线l 的方程. 参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 【解析】

试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－

1

2

，b ＝－1 所以|a ＋bi|2215

()(1)22

-+-=

，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 2．D

【解析】

由圆22

:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又12

2223AF F AOF S S

ab ∆===，由

此求出a 的值，利用离心率公式，求出e . 【详解】

由题意得2b =，1223AF F S ab ∆==，

3a ∴=，2221

13

b e a ∴=+=

. 故选：D. 【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 3．B 【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】

根据题意，阴影部分的面积的一半为：

()4

cos sin 21x x dx π

-=

-⎰，

于是此点取自阴影部分的概率为()

()121

42141.41122 3.22

P ππ---=⨯=>=． 又211

12

P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】

本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 4．D 【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】

故选 【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值.

【详解】

依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩

， 作出函数()f x 的图象如下所示；

由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23

-

， 当2x =-时，()f x 有最小值9-.

故选：B.

【点睛】 本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.

6．C

【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．

【详解】

由()11z z i -=+得：()()()

2

11111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C

【点睛】

本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

【解析】

0y m -+=的倾斜角为π3

，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=，则

||AE ，所以双曲线C 的离心率为1

e =

.故选B ． 8．B

【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．

【详解】

正方体的面对角线长为

且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，

所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，

，故选B.

【点睛】

本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

9．C

【解析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.

【详解】

双曲线22214x y b -=的离心率2

e =，

则2a =，2c e a ==，解得c =()

，

所以b ===

则双曲线渐近线方程为2y x =±20y ±=，

不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d

==，

故选：C.

【点睛】

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

=⨯+，

本程序框图的功能是计算m，n中的最大公约数，所以199********

=⨯+，故当输入1995

=⨯+，1713570

228171157

n=，则计算机输出的数

m=，228

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

11．D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

12．A

【解析】

根据复数的基本运算求解即可.

【详解】

224422(1)2i i i i i

===---. 故选：A

【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．14

【解析】

取基向量AD ，AB ，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将BE ，EF 表示为基向量后再相乘可得．

【详解】

如图：

设(1)AF AD AC λλ=+-，又11112224

AE AD AO AD AC =+=+， 且存在实数t 使得AF t AE =， 11(1)24AD AC t AD t AC λλ∴+-=+， ∴12114t t λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩

， ∴23

λ=， ∴2

133AF AD AC =+， ∴11612

EF AF AE AD AC =-=+， ∴1

11()()()()4612BE EF AE AB EF AD DE AB EF AD DB AB AD AC =-=+-=+-+

1111()()44612

AD AB AD AB AD AC =+--+ 3311()()44412

AD AB AD AB =-+

2231116168AD AB AB AD =

-- 31114422161682

=⨯-⨯-⨯⨯⨯ 14

= 故答案为：

14

． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

14．1元

【解析】

设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元

则根据题意可得212212

0x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩

，且， 目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示

作直线340L x y +=：

， 然后把直线向可行域平移， 由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大，

由212 212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44x y ⎧⎨⎩

＝＝，即44A （，） 此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．

【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．

15．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭

【解析】

根据指数函数x y e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0x e ax x ax --<恒成立问题，凑而可知y ax

=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围.

【详解】

由指数函数x

y e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ， ()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax -<-恒成立，即()

()ln 0x e ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数x

y e =与ln y x =的图象之间， y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ， 则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m e k e =⎧⎪⎨=⎪⎩

； 设过原点且与x y e =相切的直线与函数相切于点(),n n e ， 则切线斜率2n

n

e k e n ==，解得：21n k e =⎧⎨=⎩； 当1a e =时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e

∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的，忽略对于临界值能否取得的讨论.

16．121

n - 【解析】

由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得1111112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得1112n n n

a a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得11

11112()n n n n a a a a +--=- 21

112a a -=，数列111{}n n a a +-是等比数列，首项为2，公比为2， 1112n n n

a a +∴-=，11112,2n n n n a a --≥-=， 112

21111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ 121222212112

n

n n n ---=++++==--， 111,1n a ==，满足上式，121

n

n a =-. 故答案为:

121

n -. 【点睛】 本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．

(1) 1C 的极坐标方程为ρθ=.曲线2C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. (2)

【解析】

(1)先得到1C 的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将222

x y y sin ρρθ

⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，得到曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()

2,ρθ，

将θβ= 02πβ⎛⎫<< ⎪

⎝⎭

分别代入曲线1C 、2C 极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=

，

4sin OA

OB ββ+=+，之后进行化一，可得到最值，此时2πβϕ=

-，可求解.

【详解】 （1

）由x y αα

⎧=+⎪⎨=⎪⎩得220x y -+=，

将222

x y x cos ρρθ⎧+=⎨=⎩

代入得：

ρθ=，故曲线1C

的极坐标方程为ρθ=.

由4sin ρθ=得24sin ρρθ=，

将222

x y y sin ρρθ

⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. （2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，

将θβ= 02πβ⎛

⎫<< ⎪⎝⎭

分别代入曲线1C 、2C

极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=，

则4sin OA OB ββ+=+

()sin cos βββϕ==+⎭，其 中ϕ

为锐角，且满足sin ϕ=

，cos ϕ=，当2πβϕ+=时，OA OB +取最大值， 此时2πβϕ=-，tan tan 2πβϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ sin 2cos 2πϕπϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭

cos 3sin sin ϕϕϕ====【点睛】

这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些.

18．（1）21n a n =-；12n n

b -=（2）()()111222n n n n ++-⨯-+ 【解析】

(1)设数列{}n a 的公差为d ,由53a S =可得,1132432

a d a d ⨯+=+,由111a

b ==即可解得2d =,故21n a n =-,由4415a b +=,即可解得2q ,进而求得12n n b -=.

(2) 由（1）得，()2212n n n n n S T n n n n

-⋅==⋅-,利用分组求和及错位相减法即可求得结果. 【详解】

（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，

由53a S =可得，1132432a d a d ⨯+=+

， 整理得12a d =，即2d =，

故21n a n =-，

由4415a b +=可得48b =，则318b q =，即2q

， 故12n n b -=.

（2）由（1）得，2n S n =，21n n T =-， 故()2212n n n n n S T n n n n

-⋅==⋅-， 所以，数列n n S T n ⋅⎧⎫⎨

⎬⎩⎭的前n 项和为()()121222212n n n ⨯+⨯++⨯-+++， 设()1211222122n n n P n n -=⨯+⨯+

+-⨯+⨯①， 则()23121222122n n n P n n +=⨯+⨯+

+-⨯+⨯②， ②-①得()()12312

2222122n n n n P n n ++=⨯-++++=-⨯+， 综上，数列n n S T n ⋅⎧⎫⎨

⎬⎩⎭的前n 项和为()()111222

n n n n ++-⨯-+. 【点睛】 本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.

19．（1）见解析；（2 【解析】

（1）要证平面PEC ⊥平面ABCE ，只需证BF ⊥平面PEC ，而PC BF ⊥，所以只需证BF EC ⊥，而由已知的数据可证得BCE ∆为等边三角形，又由于F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，从而可证得结论；

（2）由于在Rt PEC ∆中，122

PE DE PF EC a ====，而平面PEC ⊥平面ABCE ，所以点P 在平面ABCE 的投影恰好为EF 的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】

（1）由//,90,2BC AD ADC AB BC DE ︒

∠===，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设24AB BC DE a ===，

因为120ABC ︒∠=.

所以在Rt CDE △

中，,4,tan DE CD EC a ECD CD ==∠=

=，则30ECD ︒∠=，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ︒∠=，由4EC BC AB a ===，

所以BCE ∆为等边三角形，

又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又,,BF PC EC PC ⊥⊂平面,PEC EC PC C ⋂=，

则有BF ⊥平面PEC ，

而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE .

（2）解法一：在Rt PEC ∆中，122PE DE PF EC a ===

=，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥， 由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC

平面ABCE EC =，

所以PO ⊥平面ABCE ，

以O 为坐标原点，OC 方向为y 轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则),,3,0),,,0),(0,3,0)P A a B a C a -

，(23,3,3),(23,,3),(0,3,)PA a a a PB a a a PC a =--=-=，

设平面

PAB 的法向量(,,

)m x y

z =，由0,

0m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,

ay ay ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩取1x =，则(1,0,2)m =

设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ

， 则2sin 1m

PC

m PC θ⋅===， 故直线PC 与平面PAB .

解法二：在Rt PEC 中，122PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥，由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC

平面ABCE EC =，

所以PO ⊥平面ABCE ， 过O 作OH AB ⊥于H ，连PH ，则由PO ⊥平面,ABCE AB ⊂平面ABCE ，所以AB PO ⊥，又

AB OH PO OH O ⊥⋂=，则AB ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH 所以AB PH ⊥，在Rt POH 中，3,23PO a OH BF a ===，所以15PH a =，设C 到平面PAB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=，即1133PAB BEC S d S OP ⨯⨯=⨯⨯，即111141542333232

a ad a a a ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 可得615

d a =， 设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ，则6515sin 5

23a d PC a θ===. 故直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为55

.

【点睛】

此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.

20．（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN 与平面BCF 所成

. 【解析】 （Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，

OB 为y 轴，OF 为z 轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF

上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为

21

，设EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】

（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ， ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，

//EF MP =

∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，

//EM ∴平面ACF ．

（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，

在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，

//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，

FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，

以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，

(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，

设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ，

则·30·

0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，

则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩

，取1a =，得(1,3,m =， 设二面角E BC F --的平面角为θ，

则||427cos ||||747m n m n θ===． ∴二面角E BC F --的余弦值为277

． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为

2121

，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)，(3CN =-，1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,3)m =，

2|||33|21|cos ,|21||||4(1)7CN m t CN m CN m t -∴<>===+-， 解得212

t =-， ∴线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121

．

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．特征值为1，特征向量为01⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

．

【解析】

设出矩阵M 结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M ，然后利用M αλα=可求特征值的另一个特征向量.

【详解】

设矩阵M ＝ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则AM ＝1 3 3 3 2 32 1 2 2 1 1a b a c b d c d a c b d ++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 所以32332121

a c

b d a

c b

d +=-⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1,0,1,1a b c d ===-=，所以M ＝1 01 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 则矩阵M 的特征方程为2()(1)0f λλ=-=，解得1λ=，即特征值为1，

设特征值1λ=的特征向量为x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，则M αλα=， 即 x x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，解得x ＝0，所以属于特征值的1λ=的一个特征向量为01α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

． 【点睛】

本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数算的核心素养.

22．（1）22

143

x y +=（2）20x y --=或20x y +-=. 【解析】

（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可得N x ，同理直线方程和圆

方程联立，可得M x ，再由127

AN AM =

可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由127AN AM =可解得k ，即得. 【详解】

（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2

a x c

=与圆C ：()2231x y -+=相切.()222301,31,a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩

解得21a c =⎧⎨=⎩，

222

3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22

143x y +=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，

显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.

直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,14

3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=. 由221612243N k x k -⋅=+，解得2283

N k x k -=+. 直线方程和圆方程联立，由方程组()()222,31,

y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()22221480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22241

M k x k +=+. 又127AN AM =，则有()12227

N M x x -=-. 即22121224371k k =⋅++，解得1k =±， 故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.

分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.

设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22

214

3x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得，()2234120t x ty ++=，解得21234

N t y t -=+. 由方程组()22231

x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22120t x ty +-=， 解得221

M t y t =+. 又127AN AM =，则有127

N M y y =-. 即22121223471

t t t t -=-⋅++，解得1t =±， 故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.

【点睛】