圆锥曲线综合问题研究

【考纲解读】

1．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．

2．领会转化的数学思想，提高综合解题能力.

【要点梳理】

1.圆锥曲线中的最值问题

2.圆锥曲线中的面积问题

3.圆锥曲线中的定点或定值问题

【例题精析】

考点一 　圆锥曲线中的最值与面积问题

（07陕西理）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为。

（Ⅱ）设，。

（1）当轴时，。

（2）当与轴不垂直时，

设直线的方程为。

由已知，得。

把代入椭圆方程，整理得，

，。

。

当且仅当，即时等号成立。当时，，

综上所述。

当最大时，面积取最大值。

【名师点睛】本小题主要考查直线与椭圆,考查了圆锥曲线中的面积问题，综合基本不等式，熟练基本知识是解决本类问题的关键.

练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。

（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；

（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。

解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，

由，解得，所以

当且仅当时，取到最在值1，

（Ⅱ）解：由得   

设到的距离为，则

又因为所以代入②式并整理，得

解得，代入①式检验，。

故直线的方程是

。

【变式训练】

考点二 　定点（定值）问题

例2.(2012年高考福建卷21)（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1）      求抛物线E的方程；

（2）      设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

设M（0，）∴，∵·=0

--++=0，又，∴联立解得=1

故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0，1）.

【名师点睛】本小题主要考查抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。

【变式训练】

1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

， 

 (II)设，由得，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，

(最好是用向量点乘来)，

，

，解得，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆的方程为。    …………………        1分

∵，，∴，。    ………………        4分

∴椭圆的方程为。    ………………………………………    5分

（Ⅱ）取得，直线的方程是

直线的方程是交点为    …………7分,

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。…………………8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，

记，则。…………        9分

设与交于点由得

设与交于点由得………    10

，……12分

∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。    13分

解法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为    …………………………………………    7分

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。    ……………8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………………9分

的方程是的方程是消去得…    ①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证………………    ②∵∴②式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：（Ⅱ）由得即。

记，则。……………        6分

的方程是的方程是    ……        7分

由得    …………………        9分

即

    ………………………………        12分

这说明，当变化时，点恒在定直线上。………………        13分

3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为，离心率为﹒

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒

解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：    。。。2分

椭圆E的方程为。。    3分

（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

。。。    5分

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则

由得

    7分

所以    9分

对于任意的值，为定值，所以，得，

所以；    11分

②当直线的斜率不存在时，直线

由得

综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒    13分

法二：假设存在点，又设则： 

=….    5分

①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

由得    7分

    9分

设则

    11分

②当直线的斜率为0时，直线，由得：

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为    。。13分

4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。

 （I）求椭圆的标准方程；

 （Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

 （Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、

三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。

解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知

故椭圆方程为

   （Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）

代入，得设

则,

由，

当时，有成立。

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则

的方程为、在直线上，

在轴上存在定点，使得三点共线。

解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。设的方程为

 代入，得设则

     当时，有成立。

    （Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

     设存在使得、、三点共线，则，

     ，

     即

     ， 存在，使得三点共线。

6、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

解：（I）圆过点O、F， M在直线上。

    设则圆半径

    由得    解得

    所求圆的方程为

    （II）设直线AB的方程为

    代入整理得

    直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

    记中点    则

    的垂直平分线NG的方程为令得

点G横坐标的取值范围为

【易错专区】

问题：圆锥曲线的综合应用

例. （2012年高考江苏卷19）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线

与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：是定值．

【解析】（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴,

由点在椭圆上，得

【名师点睛】本小题主要考查了椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件 时，需要注意直线和直线平行这个条件.本题属于中档题．

【课时作业】

10. (2011年高考江西卷理科20)（本小题满分13分）

是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值．

又，所以，所以或.