浙江专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1一cosx的高阶无穷小，则正整数n等于    (    )

A．1   

B．2

C．3

D．4

正确答案：C           

解析：由=0知n＞2；故n=3．

2． 设函数f(x)=｜x3－1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的    (    )

A．必要但不充分条件

B．充分必要条件

C．充分但非必要条件

D．既非充分也非必要条件

正确答案：B           

解析：因为(x2+x+1)φ(x)＝－3φ(1)，(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，所以f(x)在x=1处可导的充分必要条件为一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，选项B正确．

3． 直线l：与平面π：4x一2y一2z一3=0的位置关系是  (    )

A．平行

B．垂直相交

C．直线l在π上

D．相交但不垂直

正确答案：A           

解析：直线的方向向量为(一2，一7，3)，平面π的法向量为(4，一2，一2)．(一2)×4+(一7)×(一2)+3×(一2)=0，且直线l：上的点(一3，一4，0)不在平面：4x一2y一2z一3=0上，所以直线与平面平行．

4． 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有    (    )

A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数

B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数

C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数

D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数

正确答案：A           

解析：记G(x)=f(t)dt，则G(x)是f(x)的一个原函数，且G(x)是奇(偶)函数f(x)是偶(奇)函数，又F(x)=G(x)+C，其中C是一个常数，而常数是偶函数，故由奇、偶函数的性质知应选A．

5． 如果级数un(un≠0)收敛，则必有    (    )

A．级数(一1)nun收敛

B．级数｜un｜收敛

C．级数发散

D．级数收敛

正确答案：C           

解析：因为un(un≠0)收敛，所以=∞，故发散，C正确．

填空题

6． 函数f(x)=的第一类间断点为__________．

正确答案：x=1，x=－1           

解析：求极限可得f(x)=f(x)=1，f(x)=0，f(x)=－1，f(x)=0，所以函数f(x)的第一类间断点为x=1，x=－1．

7． 已知y=lnsin(1—2x)，则y′=___________．

正确答案：－2cot(1－2x)           

解析：y=lnsin(1－2x)y′==－2cot(1－2x)．

8． 设函数x=x(y)是由方程yx+x+y=4所确定，则=__________．

正确答案：-3           

解析：利用隐函数求导法和对数求导法可得x′lny++x′+1=0，再由x(1)=2可得=－3．

9． 已知=3，则常数a=__________，b=___________．

正确答案：a＝－1，b＝－2           

解析：因为＝3a＝－1，再由22+2a+b＝0可知b＝－2．

10． dx=___________．

正确答案：π           

解析：

11． 设f(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则k=___________．

正确答案：k=0           

解析：根据函数连续的定义：f(x)=f(0)，因xsin=0，则k=f(0)=0．

12． 使得函数f(x)=适合Roll(罗尔)定理条件的闭区间是：____________．

正确答案：[0，1]           

解析：根据罗尔定理的条件：只需函数在闭区间连续，开区间可导，并且在区间端点处的函数值相等即可．如：[0，1]．

13． 函数y=ex+arctanx的单调递增区间是：___________．

正确答案：(一∞，+∞)           

解析：由于y′=ex+＞0，因而函数的单调递增区间为(－∞，＋∞)

14． ∫sec4xdx＝___________．

正确答案：tanx+tan3x+C           

解析：∫sec4xdx=∫sec2xdtanx=∫(1+tan2x)dtanx=tanx+tan3x+C

15． 幂级数x2n－1的收敛半径为__________．

正确答案：           

解析：利用比值判别法的思想，x2n＋1.x2＜1，所以收敛区间为x∈()因此，收敛半径为R＝．

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

16． 求极限：(其中a1，a2…an＞0)

正确答案：=lna1+lna2+…+lnan=lna1a2…an=elna1a2…an=a1a2…an   

17． 求点P(3，一1，2)到直线的距离．

正确答案：据题意，已知直线的方向向量为=(1，1，－1)×(2，－1，1)==－3j－3k所以过点p且与已知直线垂直的平面方程为－3(y＋1)－3(z－2)=0，即y＋z－1=0联立方程组解得x=1，y=，z= 所以点p(3，－1，2)到直线的距离就是点p(3，－1，2)与点(1，)之间的距离．所以由两点之间的距离公式得d=   

18． 设参数方程处的值．

正确答案：＝－2tsint2，=cost2－2t2sint2－cost2.2t=－2t2sint2所以   

19． 已知y=x2.

正确答案：因y=x2.所以在两边取对数得lny=2lnx+ln(1一x)一ln(1+x)  两边同时对x求导，解得y′=y.=   

20． 求不定积分dx

正确答案：dt=2∫(t2－1)dt=t3－2t＋C=＋C   

21． 求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f2(x)=dt

正确答案：据题意，f2(x)=dt两边同时对x求导数，可得2f(x).f′(x)=f(x).，即f′(x)=解微分方程，变量分离dy=dx，两端积分得，所以y=ln｜2+cosx｜+C又因f(0)=0，可得C=ln3所以所求函数f(x)=ln3    

22． 求积分dx

正确答案：dx=xln(1＋dx=xln(1＋－ln2=－ln2＝1－ln2   

23． 判断级数的敛散性．

正确答案：先考虑正项级数的敛散性， 所以，由比值判别法知，正项级数收敛． 所以级数绝对收敛．       

综合题

设函数f(x)是连续函数，且=2，φ(x)=f(xt)dt，求：

24． φ′(x)；

正确答案：因为φ(x)=f(u)du，所以φ′(x)=f(u)du+，又因=2，且f(x)是连续函数所以.x=0=f(0)，故φ(0)=f(0)dt=0φ′(0)==1所以φ′(x)=   

25． 讨论φ′(x)的连续性．

正确答案：当x≠0时，显然φ′(x)处处连续，而=2一=1=φ′(0)所以φ′(x)在x=0处也连续．综上可知，φ′(x)处处连续．   

已知曲线y=a(a>0)与曲线y=ln在点(x0，y0)处有公切线，试求：

26． 常数a及切点(x0，y0)；

正确答案：据题意曲线y=a(a＞0)和曲线y=ln在点(x0，y0)处有公切线可知y0=a由以上①和②两式可以解得x0=e2，a=，y0=1即常数a=，切点为(e2，1)    

27． 两曲线与x轴所围成的平面图形D的面积S；

正确答案：由(1)知，两曲线分别为y=和y=ln所以两曲线与x轴所围成的平面图形D的面积S=(e2y－e2y2)dy=e2ydy－e2y2dy=   

28． 两曲线与x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx．

正确答案：两曲线与x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转所得旋转体的体积   

29． 证明：当x>0，a>1时，xa+(a一1)≥ax．

正确答案：设f(x)=xa+(a一1)一ax，x∈(0，+∞)令f′(x)=axa－1一a=0，则x=1当x∈(0，1]，f′(x)≤0，f(x)↓则：f(x)≥f(1)； 当x∈[1，+∞)，f′(x)≥0，f(x)↑则：f(x)≥f(1)；综上可得：x∈(0．+∞)，f(x)≥f(1)=0即原不等式成立．