2018届云南省师大附中高考适应性月考卷 数学(理)word版含答案

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（   ）

A．         B．       C．       D．

2.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（   ）

A．第一象限         B．第二象限       C． 第三象限       D．第四象限

3.命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（   ）

A．         B．      C．        D．

4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（   ）

A．4         B．-4       C.5         D．-5

5.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（   ）

A．-2         B．-3       C. -4        D．-5

6.若的展开式中常数项为，则实数的值为（   ）

A．         B．       C.-2         D．

7.将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（   ）

A．2         B． 3      C.  4       D．5

8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（   ）

A．         B．       C.         D．

9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（   ）

A．         B．       C.          D．

10.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（   ）

A．         B．       C.         D．

11.已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（   ）

A．         B．       C.         D．

12.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（   ）

A．-1         B．-2       C.-3         D．-4

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若实数满足不等式组，则的最小值为          ．

14.设数列的前项和为，且，，则          ．

15.已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是          ．

16.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. 在中，分别是角的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.

（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.

附：，其中.

（1）求证：平面平面；

（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20. 已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21. 已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设与曲线相交于两点，求的值.

23.选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）解不等式；

（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.

2018届云南省师大附中高考适应性月考卷

数学（理）参

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．，∴，故选C．

2．，，故选B．

3．对于成立是真命题，∴，即，故选B．

4．由题意可知输出结果为，故选A．

5．∵，∴，故选D．

6．的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D．

7．由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．

8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．

9．设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴

，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．

10．设，由椭圆的定义得：，∵的三条边

 成等差数列，∴，联立，，解得   

 ，由余弦定理得：，将 

 代入可得，

，整理得：，由，得，解得：或（舍去），故选D．

11．对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．

12．因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以

，所以，当时，，故的最小值为，故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．

14．①，②，①②得：，又 ∴数列

首项为1，公比为的等比数列，∴．

15．依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，

，如图2，  

点恰好取自区域的概率．

16．由，得，设，则直线过定点

作出函数的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点.

当时，不满足条件；

当时，当直线经过点时，此时两函数图象有个交点，此时，；当直线与相切时，有两个交点，此时函数的导数，设切点坐标为，则，切线的斜率为，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为，

所以，

由正弦定理得，

即，

又，所以，

所以，

在中，，所以，所以．

（Ⅱ）由余弦定理得：，

∴，

∴，

当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，

∴的面积的最大值为．

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）列联表补充如下：

∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．）

（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，

则抽取男生人，抽取女生人，

所以的分布列服从参数的超几何分布，

的所有可能取值为，其中．

由公式可得，，，

所以的分布列为：

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：由已知，得，

∵，， 

又，∴．

又底面，平面，

则，

∵平面，平面，且，

∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．

则，

因为在平行四边形中，，

则，∴．

又，知．

设平面的法向量为，

则即

取，则．

设平面的法向量为，

则即

取，则．

若平面与平面所成的二面角为，

则，即，

化简得，即，

解得（舍去）或．

于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．

20．（本小题满分12分）

解：由题意知函数的定义域为，．

（Ⅰ）①当时，，所以函数的单调递增区间是，无极值；

②当时，由，解得，所以函数的单调递增区间是，

由，解得，所以函数的单调递减区间是．

所以当时，函数有极小值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当时，函数在为增函数，

∴函数在上的最小值为，显然，故不满足条件；

②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，

故函数在上的最小值为的极小值，即，满足条件；

③当时，函数在为减函数，

故函数在上的最小值为，即，不满足条件．

综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设动点，则，且，①

又，得，

代入①得动点的轨迹方程为．

（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．

直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，

得，

由，

解得，②

设，线段的中点，

则．

由题设知，正方形在轴左边的两边所在的直线方程分别为，注意到点不可能在轴右侧，则点在正方形内（包括边界）的条件是

即

解得，此时②也成立．

于是直线的斜率的取值范围为．

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）直线的参数方程为：，

曲线的直角坐标方程为：．

（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的方程中，

得，即， 

设点所对应的参数分别为，则， 

∴．

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）不等式，即，即，

，解得，

所以不等式的解集为.

（Ⅱ）

故的最大值为，

因为对于，使恒成立，

所以，即，

解得，∴．