2012年灵宝市实验中学九年级数学选拔赛试卷

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。）

1．设，，且，则代数式的值为             （    ）。

(A)  11       (B)   9     (C)  7       (D)   5

2．若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有     （    ）。

（A）   （B）      （C）   （D）

3．二次函数的图像如图所示，Q（n，2）是图像上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（   ）。                                              

（A）    （B）-2      （C）-1  （D）

4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于                            （      ）。

（A）12              （B）10              

（C）8             （D）6

5． 设Q＝ ，其中a、b为相邻的两个整数，c=ab，则Q(       )。

(A) 必为奇数               (B) 必为偶数

(C) 必为无理数             (D) 奇数、偶数、无理数三种情况都有可能

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45º，∠A=60º， CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_______m。

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为              次（用t表示）。

8．已知，则         。

9．在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，，BC=CD=12, E在CD上，，若AE=10，则CE的长为        。

10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是           。

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。 当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段。

（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟。 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。

                                            （11题图）

12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围。

13．已知：如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的圆分别交AB、AC于点P和Q，交BC于点D和E，且BP＋CQ＝PQ。

（1）过点P作PF∥AC，交BC于F，求证：EC=EF；

（2）求∠DAE的度数。

14．已知：抛物线与轴交A、B两点（A点在B点左侧），B(3,0)，且经过C(2,-3)，与y轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标。

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物于点，求线段PE长度的最大值。

（3）在（1）的条件下，在轴上是否存在两个点G、H（G在H的左侧），且GH=2，使得线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小；如果存在，求出G、H的坐标；如果不存在，说明理由。

参及评分标准

1．C  

解： 由题设条件可知，，且，所以a、b是一元二次方程的两根，故，，因此.  故选C.

2．D

解：∵  ，，

∴  ，；

因此，结论（B）、（C）显然不正确。

设斜边为c，则有，，即有

，

因此，结论（A）也不正确.

由化简整理后，得，

因此结论（D）是正确的。

3．A

解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．

依题意有AQ2+BQ2=AB2．

（x1-n）2+4+（x2-n）2+4=（x1-x2）2，

化简得：n2-n（x1+x2）+4+x1x2=0．

有

∴an2+bn+c=-4a．

∵（n，2）是图象上的一点，

∴an2+bn+c=2，

∴-4a=2，

∴a= 

故选A．

4．C

解：由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以

，

又由题设知，所以

，

，

故，于是

，。

因此，结论（C）是正确的。

5．A

  解：设a=n-1，b=n，则c=n(n-1)。

= 

= 

由于n(n-1)是偶数，所以是奇数。

6．解：

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.

因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m， EF=DFtan60°=（m）.

因为，所以（m）.

7． 答： 

解：据题意，有，

∴.

（第7题图）

因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为

8． 答：2012 

解：易知t≥2012,∴t-2011+=t, =2011,t-2012=20112

∴ t-20112=2012

9． 答：4或6

解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又，

∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.

∴ BM=BE，，

∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.

设CE=x，则AG=，AD=，DE=.

在Rt△ADE中，，

∴，

即，

解之，得，.

故CE的长为4或6.

10．解：答： 

解：∵，，

∴ x、y是关于t的一元二次方程

的两实根.

∵，即

，.

∴，当时，.

故z的最大值为.

11．解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以

解得，，，.

所以

，.  …………………（5分）

（2）当时，.

所以，当时，令y=36，得，

解得x=4，（舍去）；

当时，令 y=36，得，解得

.           ……………………（10分）

因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.               ……………………（15分）

12．解：原方程可化为2x2-3x-（k+3）=0，①

（1）当△=0时，，满足条件；……………3分

（2）若x=1是方程①的根，得；

此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；……………6分

（3）当方程①有异号实根时，，得k＞3，此时原方程也只有一个正实数根；…………………9分

（4）当方程①有一个根为0时，k=-3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．………………12分

综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=-4或k≥-3．…………15分

13． （1）证明： ∵ ∠CAB＝90°  ∴ PQ是直径，PQ的中点O是过点A的圆的圆心。连OE，PE，作PF⊥AB交BC于点F   　　∵AB＝AC   　　∴ ∠B＝45°　

∵ PF⊥AB  　 ∴ PF＝PB，PF∥CQ   　　

∵ BP＋CQ＝PQ  　　∴ FP＋CQ＝PQ＝2OE   

∴ OE＝   (FP＋CQ)     　(5分)

若取梯形CQPF的边CF中点M，连OM，则OM∥CQ∥PF，

OM＝   (（FP＋CQ)   ∴ OE＝OM   ∴ 点M即FC与?OO的交点E (10分)

（2）解：∵O、E分别为PQ、CD的中点

∴ OE∥CQ  又∵CQ⊥AB  ∴ OE⊥AB   ∴EA＝EP ∴∠EAP＝∠EPA

∵ ∠EAP＝∠EAD＋∠DAB     ∠EPA＝∠B＋∠PEB    

∴ ∠EAD＋∠DAB＝∠B＋∠PEB      ∴ ∠DAB＝∠PEB  

∴∠EAD＝∠B＝45°     　　   (15分)

14．解： (1)抛物线过点； 

       ∴

       ∴

       ∴顶点坐标…………………………5分

(2) 设的解析式为：，， 

         解得： 

∴的解析式为：       

         设点的横坐标为a,则，E的横坐标为,

         ∵在抛物线上，故

         ∴

         ∵

∴当时，的最大值为     ………………………10分

（3） 只需求最短．

抛物线的对称轴为．

          将点向右平移2个单位长度至，  

作关于x轴的对称点    

          联结与轴交于点,  为所求

可求得的解析式为： 

          当时，                   

           ∴ 点的坐标为, 点的坐标为………………15分