排列与组合知识梳理

1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+…+nM种不同的方法．

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM 种不同的方法．

注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

⑵排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号表示. 其中n，m∈，并且m≤n．

⑶排列数公式: 

当m=n时，排列称为全排列，排列数为= 记为n!, 且规定O!=1.

注： ; 

4.⑴组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

⑵组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示.

⑶组合数公式:.

规定，其中m，n∈N+，m≤n.

注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.

排列与组合

⑷组合数的两个性质: 

①   从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.

②   根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. 

5．解排列、组合题的基本策略与方法

(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：

①直接法;   ②排除法;

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. 

(Ⅱ)排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；       ②合理分类与准确分步策略；

③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；

④正难则反，等价转化策略；     ⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；     ⑦定序问题除法处理策略；

⑧分排问题直排处理的策略；     ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

⑩构造模型的策略.

6.二项式定理:

⑴对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.

注:展开式具有以下特点：

项数：共有项；

系数：依次为组合数

且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.

⑵二项展开式的通项：的展开式第r+1为.

⑶二项式系数的性质.

①二项展开式中的叫做二项式系数

②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

即

排列与组合

③二项展开式的中间项二项式系数最大

且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的．

(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;

(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.

④系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和: .

⑤

⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.

⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。