黑龙江省大庆一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题 Word版含答案...

数学试题（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。          

                            第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．若复数满足（其中是虚数单位），则的实部为（    ）

（A）6       （B）1       （C）       （D）

2.已知集合A={x|(a2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax2-x+1=0，x∈R},若A∪B=，则a的值为 (    )      

A．0    B．1    C．0或1    D．0或4 

3.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形的面积为（   ）

A.        B.       C.      D.                  

4.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中

标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(   ) 

A．4 cm3       B．5 cm3       C．6 cm3       D．7 cm3

5. 要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的  (    ) 

A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 

B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

  6.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 （   ）

  A．        B．       

  C．         D． 

7.已知，则的最大值 为（   ） A. 6      B.  4    C. 3   D. 

8.已知正方体的棱长为2, 长为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（  ）

 A．           B．          C．           D．

9.在中,角A,B,C的对边分别是,且则等于(     )

       B.       C.       D.

10.如图是函数的图象的一部分,设函数=,,则大致是（   ）                              

      10题图                               12题图

A.    B.   C.   D.

11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的都满足,若,则(  )

A.        B.     C.     D.

12．是定义在区间【-c，c】上的奇函数，其图象如图所示,令，则下列关于函数的叙述正确的是（   ）                                 

A．若，则函数的图象关于原点对称                           

B．若，，则方程必有三个实根

C．若，，则方程必有两个实根

D．若，，则方程必有大于2的实根

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线中，F为右焦点，A为左顶点，点B(0，b)且AB⊥BF，则此双曲线的离心率为________．

14.已知则________.

15.展开式的常数项为          ．

16．定义在R上的连续函数对任意x满足f（3-x）=f（x），，

   则下列结论正确的有      

    ① 函数为偶函数，     ② 若，则

    ③       ④ 若，则有两个零点

三、解答题 共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为a1=1，前n项和为Sn，并且对于任意的n≥2，3Sn-4、an、2-总成等差数列．

 (1)求{an}的通项公式；

 (2)记数列{Sn}的前n项和为Tn求Tn．

18.（本小题满分12分）

      某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，1]，第二组[1，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

      （Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

     （Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；

    （Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望．

    参考数据：若，则

    =0.6826，

    =0.9544, 

    =0.9974.

19.（本小题满分12分）

      如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

    （Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

    （Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

    （Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值，

 20.（本小题12分）已知函数(R).

(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；

(2)如果函数，在公共定义域上，满足，那么就称 为的“活动函数”．

已知函数.若在区间上，函数是的“活动函数”，求的取值范围; 

21、已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合。

(1)过F的直线与抛物线交于M,N两点，过M,N分别作抛物线的切线，求直线的交点Q的轨迹方程；

（2）从圆O：上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．

（I）证明：C，B，D，E四点共圆；

（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.

24．已知，且，求的最小值及取得最小值时的值

模拟试题Ⅲ 数学（理工类）答案

一、选择题

题号 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

答案 A   B   B   A   C   B   A   D   C   B    A    D

二、填空题

13.   14.    15.－7    16.①②④

三、解答题

17.法一 解：依题意有，即

即，即，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，所以

所以，

所以 

法二：可退位作差求得

（2）由（1）可知所以＝

＝.

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）.  …………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人.  ……………（6分）

（Ⅲ），

，0.0013×100 000=130.

所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人.       

随机变量可取，于是

,,

.     ………………………………（12分）

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

， ，，，，.

则.

设平面SCD的法向量是则

即

令，则，于是.

，.

 AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，

则，即.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………（8分）

（Ⅲ）设，则.

又，面SAB的法向量为，

所以，.

.

当，即时，.………………………………………………（12分）

20．（本小题12分）解：（1）当时，，

；…………2分

        对于，有，

∴在区间[1, e]上为增函数，…………3分

  ∴，. …………5分                     

（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则

令<0，对恒成立，

且=<0对恒成立，   

∵    (*)  …………7分

1）若，令，得极值点，，                 

当，即时，在（，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；…………9分

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；…………11分

2） 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；                               

要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以a.…………12分                  

又因为<0, 在(1, +∞)上为减函数， ，  …………14分

综合可知的范围是.…………15分              

21.（1）由于椭圆的离心率e=,则，，则，椭圆的方程为将点代入椭圆的方程得到c=1,故所求椭圆的方程为其焦点坐标为，则F(0，1),故抛物线的方程为            ……3分

易知直线MN的斜率一定存在，设为k，则直线MN的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到。设，则      ……4分

由于，故直线的斜率为，的方程为即，同理可得直线的方程为，令，即显然，故，即点Q的横坐标是，点Q的纵坐标是

，即点Q（2k,-1）,故点Q的轨迹方程是y=-1        ……6分

（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P在第一象限，则此时点P的横坐标为，代入圆O的方程得点P的纵坐标是，因此这两条切线所在的方程分别为因此,所以若角APB的大小为定值，则这个定值只能是（8分）

当这两条切线的斜率都存在时，设点P，过点P的切线的斜率为，则切线方程为     ，由于直线是椭圆的切线，故整理得：                           ……10分

设切线PA，PB的斜率分别为，则是上述方程的两个实根，故又点P在圆上，故所以，所以，……11分

综上可知，角APB的大小为定值，且这个定值为。……12分

（22）解：

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， 

    AD×AB=mn=AE×AC，                      

    即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB     

    因此∠ADE=∠ACB                                  

    所以C，B，D，E四点共圆。

    （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.

故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

（23）解：

（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以

             即  

    从而的参数方程为

    （为参数）

    （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

    射线与的交点的极径为。

    所以.

（24）解：

                          （5分）

又，，当且仅当时等号成立

当时，取得最小值18                     （10分）