...旋转最值问题题训练(一)2021-2022学年北师大版数学八年级下册...

北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转

最值问题题训练一

一、选择题

1. 如图，在△ABC 中，∠A＜90°，∠C=30°，AB=4，BC=6，E 为 AB 的中点，P 为 AC

边上一动点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 a 角（0°＜a≤360°）得到△A B C ，点 P

1

1

1

的对应点为 P ，连 EP ，在旋转过程中，线段 EP 的长度的最小值是（　　）

1

1

1

A. 3 ―1

B. 1

3

C.

2

D. 2

2. 如图，边长为 12 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连结

MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连结 HN．则在点 M 运动过程中，

线段 HN 长度的最小值是（　　）

A. 6

B. 3

C. 2

D. 1.5

3. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵 = 90°，퐴퐶 = 퐵퐶 = 2，点 P 是 AB 上一动点，以点 C

为旋转中心，将 △ 퐴퐶푃顺时针旋转到 △ 퐵퐶푄的位置，则 PQ 最小值为(   )

A. 2

B. 2

C. 2 2

D. 3 2

4. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴 = 90°，퐴퐵 = 3，퐴퐶 = 4，D 为 AC 中点，P 为 AB 上的

动点，将 P 绕点 D 逆时针旋转90°得到푃’，连퐶푃’，则线段퐶푃’的最小值为( )

A. 1.6

B. 2.4

C. 2

D. 2 2

5. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中 ，∠ACB=90°，BC=2，D 是 BC 边上一动点，将 AD

绕点 A 逆时针旋转 45°得 AE，连接 CE，则线段 CE 长的最小值为（　　）

1

A.

2

2

B.

2

C. 2 ―1

D. 2 ― 2

6. 如图所示，Rt△ABC 中，∠B＝30°，AC＝ 3，点

M

BC

中点，将△ABC 绕点 C

旋

为

转，N 为 A B 中点，则线段 MN 的最小值为（　　）

1

1

1

2

A.

3

2

B. 3 ―

1

C.

5

3 ― 1

2

D.

二、填空题

7. 如图，在△ABC 中，BC＝3，将△ABC 平移 5 个单位长度得到△A B C ，点 P、Q 分

1

1

1

别是 AB、A C 的中点，PQ 的最小值等于_________________

1

1

8. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边 AC=4，点 P 是三角形内的

一动点，则 PA+PB+PC 的最小值是______．

9. 如图,在 △ ABC 中,AB=AC=5,∠BAC=120 ,D 为边 BC 上一点,连接 AD,将 AD 逆时针

∘

旋转120 得到 AE,F 为边 AC 的中点,连接 EF,则 EF 的最小值为

∘

.

10. 如图， △ ABC是等边三角形，AB = 4 3， 是BC的中点， 是直线AB上一动点，

线段DF绕点 D 逆时针旋转90°，得到线段DE，当点 F 运动时，CE的最小值是

______.

D

F

11. 已知等边△ABC 的边长为 4，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°

得到△ACQ，点 D 是 AC 边的中点，连接 DQ，则 DQ 的最小值是____．

1

12. 如图，Rt△ABC 中，AB=AC=8，BO= AB，点 M 为 BC 边上一动点，将线段 OM 绕

4

点 O 按逆时针方向旋转 90°至 ON，连接 AN、CN，则△CAN 周长的最小值为

______．

三、解答题

13. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为：A（1，1），B（4，4），C

（5，1）．

（1）若△ABC 和△A B C 关于原点 O 成中心对称图形，画出△A B C ；

1

1

1

1

1

1

（2）在 x 轴上存在一点 P，满足点 P 到点 B 与点 C 距离之和最小，请直接写出

1

1

PB +PC 的最小值为______．

1

1

14. 如图 1，已知正方形 ABCD 和等腰 Rt△BEF，EF=BE，∠BEF=90°，F 是线段 BC 上

一点，取 DF 中点 G，连接 EG、CG．

（1）探究 EG 与 CG 的数量与位置关系，并说明理由；

（2）如图 2，将图 1 中的等腰 Rt△BEF 绕点 B 顺时针旋转 α°（0＜α＜90），则

（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 AD=2，求 2GE+BF 的最小值．

15. 问题的提出：

如果点 P 是锐角△ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点 P 到△ABC 的三顶点的

距离之和 PA+PB+PC 的值为最小？

问题的转化：

把△APC 绕点 A 逆时针旋转 60 度得到△AP′C′，连接 PP′，这样就把确定

PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定 BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请

你利用图 1 证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．

问题的解决：

当点 P 到锐角△ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小时，请你用一定

的数量关系刻画此时的点 P 的位置______．

问题的延伸：

如图 2 是有一个锐角为 30°的直角三角形，如果斜边为 2，点 P 是这个三角形内一

动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

16. 你可以直接利用结论“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题：

在 △ 퐴퐵퐶中，AB=AC．

（1）如图 1，已知∠퐵 = 60 ，则 △ 퐴퐵퐶共有条对称轴，∠퐴 =

°

， °；

° ∠퐶 =

（2）如 图 2，已知∠퐴퐵퐶 = 60 ，点

°

E

是

△ 퐴퐵퐶内部一点，连结

、

AE BE，将 △ 퐴퐵퐸

绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合，旋转后得到 △ 퐴퐶퐹，连 结 EF，当 AE=3

时，求 EF 的长度．

（3）如图 3，在 △ 퐴퐵퐶中，已知∠퐵퐴퐶 = 30 ，点

°

P

是 △ 퐴퐵퐶内部一点，AP=2 ,点

M、N 分别在边 AB、AC 上， △ 푃푀푁的周长的大小将随着 M、N 位置的变化而变化，

请你画出点 M、N，使 △ 푃푀푁的周长最小，要写出画图方法，并直接写出周长的最

小值．

17. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决

问题.

如图 1，四边形 ABCD 中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，连

接 BD，请利用旋转变换求出四边形 ABCD 的面积；

如图 2，四边形 ABCD 中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2 2，求

出四边形 ABCD 的面积；

如图 3，四边形 ABCD 中，AD=CD，∠ADC=90°，AB=4，BD=4 ，若 、 两点

3

B

C

落在直线 AD 的同侧，求 BC 的最小值.

18. 已 知：Rt△AOB 中，∠AOB=90°，AO=4，BO=2，将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°得

△DOC，如图 1，连结 AD，BC 交于点 E.

（1）直接写出 BC 的长=_________；

（2）求证：△ABE≌△CDE；

（3）如图 2，过 E 作直线 EF⊥BD 于点 F，在直线 EF 上找一点 P，使△PBC 的周

长最小，请求出此周长最小值，并标出点 P 的位置.