四川省成都市2015年中考数学试题(解析版)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，）

1.的倒数是（      ）

   （A）         （B）         （C）        （D）

2.如图所示的三棱柱的主视图是（      ）

      （A）          （B）              （C）        （D）

3.今年月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划， 新机场将新建的4个航站楼的总面积约为万平方米，用科学计数法表示万为（      ）

   （A）      （B）         （C）   （D）

4.下列计算正确的是（      ）

 （A）       （B）    （ C）     （D）

5.如图，在中，，，，, 

则的长为（      ）

 （A）     （B）    （C）     （D） 

6.一次函数的图像不经过（      ）

（A）第一象限   （B）第二象限   （C）第三象限   （D）第四象限

7.实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（      ）

   （A）       （B）        

   （C）       （D）

8.关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（      ）

   （A）      （B）       （C）        （D）且

9.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ）

A、      B、      C、     D、

10.如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边

形的边心距和弧的长分别为（      ）

（A）、        （B）、      

    （C）、     （D）、

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11、因式分解： __________.

 12、如图，直线，为等腰直角三角形，，

则________度.

13、为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅

读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读

时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位数是_______小时.

14、如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，则折痕的长为__________.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15.（本小题满分12分，每小题6分）

(1)计算：            (2)解方程组： 

16. （本小题满分6分）

化简: 

17.（本小题满分8分）

    如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）

18. （本小题满分8分）

在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）求获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率.

19. （本小题满分10分）

如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点.

（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；

（2）在轴上找一点，使的值最小，

求满足条件的点的坐标及的面积.

20、（本小题满分10分）

如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且.是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，.

（1）求证：；

（2）试判断与的位置关系，并说明理由；

（3）若，求的值.

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21、比较大小： ________.（填，，或）

22、有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为_________.

23、已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角

线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以

OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐

标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，

再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，

再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，

按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________．

24、如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为                . 

         图（1）                    图（2）                   图（3）

25、如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是         .（写出所有正确说法的序号）

方程是倍根方程；

若是倍根方程，则；

若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；

若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）

26、（本小题满分8分）

某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元。

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

27、（本小题满分10分）

已知分别为四边形和的对角线，点在内，。

（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。

         1)求证：∽；2）若，求的长。

（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，

求的值；

（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，

设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）

28、（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为  ，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

     1：A    2：B    3：C    4：C   5：B     6：D    7：C    8：D     9：A   10：D

11：    12：    13：1     14：3

15. (1)计算： 

  【解析】：原式

(2)解方程组： 

【答案】： 

16. 化简: 

【解析】： 原式= 

    17：234m

如图所示，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为，

又∵和均为直角三角形，

      ∴

18.：（1）30人； （2）

（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，

一等奖占，所以，一等奖的学生为  

人

（2）这里提供列表法：

19：（1），；（2）P， 

（1）由已知可得，，，

     ∴反比例函数的表达式为，

联立解得或，所以。

  （2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到，

    连接交x轴于点，连接，则有，

    ，当P点和点重合时取  

到等号。易得直线：，令，

得，∴，即满足条件的P的坐标为，

     设交x轴于点C，则，

     ∴，

     即

20：（1）见解析（2）见解析（3）

（1）由已知条件易得，， 

     又，∴（）

（2）与相切。

理由：连接，则，

∴，

∴。

（3）连接，，由于为垂直平分线，

∴， 

∴，

又∵为角平分线，∴，

∴，∴，∴，

即，∵在等腰中，

∴

B卷（共50分）

21：<     22：     23：（3 n－1，0）：由题意，点A1的坐标为（1，0），

点A2的坐标为（3，0），即（3 2－1，0）

点A3的坐标为（9，0），即（3 3－1，0）

点A4的坐标为（27，0），即（3 4－1，0）

………

∴点An的坐标为（3 n－1，0）

24：或或 

1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；

易知，

射影知.

      （2）当时，如图（2），延长交于点，易知，， 

易知.

（3）当时，如图（3），由.

综上：或或

25： 

研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：

对于，，因此本选项错误；

对于，，而，因此本选项正确；

对于，显然，而，因此本选项正确；

对于，由，知，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。

综上可知，正确的选项有： 。

26、：（1）120件；（2）150元。

（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件

           由题意可得：，解得，经检验是原方程的根。

       （2）设每件衬衫的标价至少是元

           由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元/件）

           由题意可得： 

           解得，所以，即每件衬衫的标价至少是元。

27、：（1）1）见解析，2）；（2）；（3）

：（1）1)，又，

∽。

             2），，由∽可得，

又， ，即

由，解得。

     （2）连接，同理可得，由，可得

，所以，。

，解得。

     （3）连接，同理可得，过作延长线于，

可解得，，

。

28：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； 

（2）a＝－；

（3）P的坐标为（1，－）或（1，－4）

（1）A（－1，0）

∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k

∴y＝kx＋k

令ax 2－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2－( 2a＋k )x－3a－k＝0

∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4

∴－3－  ＝－1×4，∴k＝a

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F

设E（x，ax 2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）

EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a

S△ACE ＝S△AFE － S△CFE

＝  ( ax 2－3ax－4a )( x＋1 )－  ( ax 2－3ax－4a )x

＝  ( ax 2－3ax－4a )＝  a( x－  )2－  a

∴△ACE的面积的最大值为－  a

∵△ACE的面积的最大值为 

∴－  a＝  ，解得a＝－ 

（3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2－3ax－4a＝0

解得x1＝－1，x2＝4

∴D（4，5a）

∵y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1

设P（1，m）

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）

m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°

∴AD 2＋PD 2＝AP 2

∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2

即a 2＝  ，∵a＜0，∴a＝－ 

∴P1（1，－）

②若AD是矩形的一条对角线

则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，－3a）

m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a）

∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°

∴AP 2＋PD 2＝AD 2

∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2

即a 2＝  ，∵a＜0，∴a＝－ 

∴P2（1，－4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形

点P的坐标为（1，－）或（1，－4）